Problema de valor inicial

Em matemática, um problema de valor inicial ou problema de condições iniciais ou problema de Cauchy é uma equação diferencial que é acompanhada do valor da função objetivo em um determinado ponto, chamado de valor inicial ou condição inicial. Em física, biologia e outras áreas, a modelagem de um sistema frequentemente resulta em um problema de valor inicial (também chamado de P.V.I.) a ser solucionado; nesse contexto, a equação diferencial é uma equação evolutiva especificando como o sistema evoluirá ao longo do tempo dadas condições iniciais.

Definição

Um problema de valor inicial (P.V.I.) é uma equação diferencial da forma

${\begin{cases}y'(t)=f(t,y(t))\\y(t_{0})=y_{0}\end{cases}}$

Uma solução para um P.V.I. é uma função $y$ que é solução da equação diferencial e satisfaz $y(t_{0})=y_{0}$.

Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações $y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$, e $y(t)$ é um vetor n-dimensional da forma $(y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc ,y_{n}(t))$. Mais geralmente, $y$ pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o Espaço de Banach ou o espaço de distribuições.

P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. $y''(t)=f(t,y(t),y'(t))$.

Existência e unicidade de soluções

Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.

O teorema de Picard-Lindelöf garante a unicidade da solução em um intervalo que contém t₀ se f é continua em uma região contendo t₀ e y₀ e satisfaz a condição de Lipschitz na variável y.

A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma equação integral equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um ponto fixo do operador. O teorema do ponto fixo de Banach é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..

Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequência de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".

Hiroshi Okamura obteve uma condição necessária e suficiente para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma função de Lyapunov para o sistema de EDOs.

Em algumas situações, a função f não é de classe C¹, ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o teorema de existência de Peano prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.

Exemplos

O problema de condição inicial

${\begin{cases}{\frac {dy}{dx}}=y\\y(0)=2\end{cases}}$

Resolução:

${\frac {dy}{dx}}=y$

${\frac {dy}{dx}}-y=0$

Pelo método do fator integrante, multiplica-se esta equação por $e^{-x}$:

$e^{-x}{\frac {dy}{dx}}-e^{-x}y=e^{-x}0$

O primeiro lado da equação pode ser simplificado usando a regra da cadeia ${\frac {d(f\times g)}{dx}}={\frac {df}{dx}}\times g+f\times {\frac {dg}{dx}}$

${\frac {d(ye^{-x})}{dx}}=0$

Integrando os dois lados da equação, obtém-se:

$ye^{-x}=c_{1}$

com $c_{1}$ constante.

Isolando y, obtém-se então infinitas soluções para a equação diferencial, por causa da arbitrariedade de $c_{1}$:

$y(x)=c_{1}e^{x}$

Porém, só existe uma única solução que satisfaz as condições iniciais:

$y(0)=c_{1}e^{0}$

$2=c_{1}$

Portanto, a solução (única) do P.V.I. é:

$y(x)=2e^{x}$

Exemplo: Oscilador Harmônico

No caso de um sistema massa-mola sem atrito e sem força externa atuando, ao aplicar-se a segunda lei de Newton, obtém-se a seguinte relação:

$ma(t)=-kx(t)$

Ou seja:

$m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}=-kx(t)$

Onde $\textstyle m$ é a massa do oscilador, $\textstyle x$ é o deslocamento dessa massa em relação ao ponto de equilíbrio e $\textstyle k$ é a constante da mola.

Um dos métodos de se achar a solução dessa equação diferencial é usar transformada de Laplace. Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação, obtém-se o seguinte:

$m{\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}\right\}=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$

Usando as propriedades da transformada de Laplace, a equação segue escrita como:

$m\left(s^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-sx(0)-{\frac {dx}{dt}}(0)\right)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$

De onde pode-se isolar o termo ${\mathcal {L}}\{x(t)\}$:

$ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}-msx(0)-m{\frac {dx}{dt}}(0)=-k{\mathcal {L}}\{x(t)\}$

$ms^{2}{\mathcal {L}}\{x(t)\}+k{\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$

$(ms^{2}+k){\mathcal {L}}\{x(t)\}=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$

${\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}$

${\mathcal {L}}\{x(t)\}(ms^{2}+k)=msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)$

${\mathcal {L}}\{x(t)\}={\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}$

Aplicando a transformada inversa de Laplace, obtém-se:

${\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\{x(t)\}\right\}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {msx(0)+m{\frac {dx}{dt}}(0)}{ms^{2}+k}}\right\}$

$x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {ms}{ms^{2}+k}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {m}{ms^{2}+k}}\right\}$

$x(t)=x(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {s}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}+{\frac {dx}{dt}}(0){\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s^{2}+{\frac {k}{m}}}}\right\}$

Utilizando uma tabela de transformadas, a equação se escreve:

$x(t)=x(0)cos\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)+{\sqrt {\frac {m}{k}}}{\frac {dx}{dt}}(0)sin\left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right)$

Logo, é necessário definir as condições iniciais $x(0)$ e ${\frac {dx}{dt}}(0)$

Exemplo: Circuito RLC com pulso de amplitude $\textstyle V_{0}$

A equação que descreve tal circuito é dada por:

Potencial a um pulso unitário de amplitude 100V

$V(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))$

Onde $\textstyle u(t)$ é a função de heaviside

$\textstyle V(t)$ é dada pela Lei das malhas Kirchhoff como:

$V(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+{\frac {1}{C}}q(t)$

Dados $\textstyle L=1H$, $\textstyle R=2\Omega$ e $\textstyle C=1F$ temos:

${\frac {di(t)}{dt}}+2i(t)+q(t)=V_{0}(u(t-a)-u(t-b))$

Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos:

${\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+2{\frac {di(t)}{dt}}+i(t)=V_{0}(\delta (t-a)-\delta (t-b))$

No passo anterior utilizamos o fato de que a derivada da função de heaviside $\textstyle u(t)$ é a função delta de Dirac $\textstyle \delta (t)$, ou seja:

${\frac {du(t)}{dt}}=\delta (t)$

Também lançamos mão dos seguintes conceitos de eletromagnetismo:

$q(t)=\int _{0}^{t}i(t)dt$

${\frac {dq(t)}{dt}}=i(t)-i(0)=i(t)$

Onde utilizamos nossa primeira condição inicial: $\textstyle i(0)=0$

Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados da equação:

${\mathcal {L}}\left\{{\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}\right\}+2{\mathcal {L}}\left\{{\frac {di(t)}{dt}}\right\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}({\mathcal {L}}\{\delta (t-a)\}-{\mathcal {L}}\{\delta (t-b)\})$

$s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}-si(0)-{\frac {di}{dt}}(0)+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}-2i(0)+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$

Devido as condições iniciais, $\textstyle i(0)=0$ e $\textstyle {\frac {di}{dt}}(0)=0$ a equação se reduz a:

$s^{2}{\mathcal {L}}\{i(t)\}+2s{\mathcal {L}}\{i(t)\}+{\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$

Isolando $\textstyle {\mathcal {L}}\{i(t)\}$:

${\mathcal {L}}\{i(t)\}(s^{2}+2s+1)=V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})$

${\mathcal {L}}\{i(t)\}={\frac {V_{0}(e^{-as}-e^{-bs})}{(s^{2}+2s+1)}}$

Manipulamos a equação de modo a chegar no formato de uma expressão tabelada:

Corrente devido a um pulso unitário entre t = 1 e t = 2 com V0 = 100V

${\mathcal {L}}\{i(t)\}=V_{0}e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}-V_{0}e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}$

Aplicando a transformada inversa:

$i(t)=V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}-V_{0}{\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-bs}{\frac {1}{(s+1)^{2}}}\right\}$

Consultando uma tabela de transformadas de Laplace, obtemos o resultado:

$i(t)=V_{0}u(t-a)(t-a)e^{-(t-a)}-V_{0}u(t-b)(t-b)e^{-(t-b)}$

Onde utilizamos a propriedade do deslocamento no eixo t e deslocamento no eixo s

Ver também

• Teorema de Picard-Lindelöf, estabelece soluções para certos problemas de valor inicial.
• Problema de condições de fronteira