Número esfênico

Um número esfênico (do grego antigo σφήνα) é um número inteiro positivo que é o produto de três fatores primos distintos. A função de Möbius retorna -1 para todo número esfênico.

Note que essa definição é mais restringente que se exigisse simplesmente que o inteiro tivesse exatamente três fatores primos; exemplo: 60 = 2² × 3 × 5 tem exatamente 3 fatores primos, mas não é esfênico.

Todos os números esfênicos têm exatamente oito divisores. Se o número esfênico for expresso como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = x \cdot y \cdot z} , então seus divisores serão (possivelmente não ordenados):

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left\{ 1, \ x, \ y, \ z, \ x y, \ x z, \ y z, \ n \right\}}

Os primeiros números esfênicos são: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, ... (sequência A007304 na OEIS)

Números esfênicos consecutivos

O menor par de números consecutivos esfênicos é (230, 231), uma vez que 230 = 2×5×23 e 231 = 3×7×11. A menor tripla de números consecutivos esfênicos é (1309, 1310, 1311), já que 1309 = 7×11×17, 1310 = 2×5×131, e 1311 = 3×19×23. Não existe uma sequência de números esfênicos consecutivos com mais de 3 elementos. Em outras palavras, para cada n-upla (lê-se ênupla) $(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})$:

• $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ podem ser esfênicos se e somente se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 2} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = 3} ;

• $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ não são esfênicos Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall \ n \ge 4.}

As primeiras triplas de números esfênicos são:

(1309, 1310, 1311), (1885, 1886, 1887), (2014, 2015, 2016), (2665, 2666, 2667), ... (sequência A165936 na OEIS)

Maior número esfênico conhecido

Uma vez que existem infinitos números primos, também existem infinitos números esfênicos.

O maior número esfênico conhecido é

(2^74.207.281 − 1) × (2^57.885.161 − 1) × (2^43.112.609 − 1).

Produto dos três maiores números primos conhecidos. Foi definido em janeiro de 2016.

Ligações externas

• «Números esfênicos»  da On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, em inglês.

Referências

Predefinição:Classes de números naturais