Métrica (matemática)

Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição

Dado um conjunto $\mathbb {S}$, uma métrica em $\mathbb {S}$ é uma função

$d:\mathbb {S} \times \mathbb {S} \to \mathbb {R}$

que possui as seguintes propriedades:

• É positivamente definida, ou seja, é tal que

$d(x,y)\geq 0$

para todos os $x,y\in \mathbb {S}$.

• É simétrica, ou seja, é tal que

$d(x,y)=d(y,x)\,$

para todos os elementos $x,y$ de $\mathbb {S}$.

• Obedece a desigualdade triangular; para todos os $x,y,z$ elementos de $\mathbb {S}$, $d$ satisfaz

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$

• É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

$d(x,y)=0\iff x=y.$

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudométrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

• $d(x,y)=|x-y|\,$

Uma forma de medir distâncias

No conjunto $\mathbb {R} ^{n}$ várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

• $d(x,y)={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}}$
• $d(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|\,$

No conjunto das funções contínuas no intervalo $[a,b]$, $C^{0}[a,b]$:

• $d(f,g)=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$
• $d(f,g)=\int _{a}^{b}|f(x)-g(x)|$

Em um conjunto $\mathbb {S}$ qualquer, a métrica discreta:

• $d(x,y)=\left\{{\begin{array}{ll}0,&x=y\\1,&x\neq y\end{array}}\right.$

Bolas

Ver artigo principal: Bola (matemática)

As bolas abertas de raio $r$ e centro $x$ em um espaço métrico $\mathbb {S}$ são denotadas por:

$B(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)<r\right\}.$

Analogamente, as bolas fechadas de raio $r$ e centro $x$ em um espaço métrico $\mathbb {S}$ são denotadas por:

${\bar {B}}(x,r)=\left\{y\in \mathbb {S} :d(x,y)\leq r\right\}.$

Métrica induzida por uma norma

Ver artigo principal: Espaço normado

Seja $\|.\|$ uma norma em um espaço $\mathbb {S}$, então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

$d(x,y)=\|x-y\|$

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaço pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja $\tau _{d}\subset \wp (\mathbb {S} )$ o conjunto

$\tau _{d}=\left\{A\subset \mathbb {S} \mid \forall x\in A,\,\exists r>0{\text{ tal que }}B(x,r)\subset A\right\}.$

Em outras palavras, todo elemento A de tau_d é um subconjunto de S em que cada elemento $x\in A\,$ é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: $x\in B\subseteq A\subseteq S\,$.

Verifica-se facilmente que $\tau _{d}$ é uma topologia sobre $\mathbb {S}$. Essa é a topologia induzida por $d$ sobre $\mathbb {S}$.

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de $\mathbb {S}$ forma uma base para a topologia $\tau _{d}$.

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação

Ver artigo principal: Conjunto limitado

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência

Ver artigo principal: Sequência convergente

Uma seqüência $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ é dita convergente para uma ponto $x$ se:

$\lim _{n\to \infty }d(x_{n},x)=0$

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

$\lim _{n,m\to \infty }d(x_{n},x_{m})=0$

Completeza

Ver artigo principal: Espaço completo

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes

Dadas as métricas $d_{1}$e $d_{2}$no mesmo conjunto $M$, escreveremos, por simplicidade, $M_{1}=(M,d_{1})$, $M_{2}=(M,d_{2})$, $B_{1}(a;r)$igual a bola de centro a e raio r segundo a métrica $d_{1}$. Usaremos os índices 1 e 2 para distinguir objetos definidos com auxílio das métricas $d_{1}$ou $d_{2}$respectivamente.

Consideremos que $d_{1}$é mais fina que $d_{2}$, e escreveremos $d_{1}\prec d_{2}$, quando a aplicação identidade $i_{12}:M_{1}\rightarrow M_{2}$ for contínua. Como $i_{12}(x)=x$para todo $x\in M$, a definição de continuidade apresenta a seguinte condição necessária e suficiente para que $d_{1}$seja mais fina que $d_{2}$: para todo $a\in M$e todo $\epsilon >0$, existe $\delta >0$tal que $B_{1}(a;\delta )\subset {\displaystyle B_{2}(a;\epsilon )}$. Ou seja, $d_{1}\prec d_{2}\Leftrightarrow toda\;bola\;aberta\;segundo\;d_{2}\;contem\;uma\;bola\;aberta\;de\;mesmo\;centro\;segundo\;d_{1}.$

Exemplos:

• Seja $d_{1}$uma métrica discreta. Se o espaço métrico $(M,d_{1})$é discreto, então $d_{1}$é mais fina do que qualquer outra métrica discreta $d_{2}$em $M$. Por outro lado, se $d_{2}$for mais fina do que a métrica discreta $d_{1}$então, para todo $a\in M$, existe uma bola ${\displaystyle B_{2}(a;\delta )}$contida na bola $\{a\}=B_{1}(a;\epsilon )$. Logo ${\displaystyle B_{2}(a;\delta )}=\{a\}$e portanto $d_{2}$também é discreta.
• Se existir uma constante $c>0$tal que $d_{2}(x,y)\leq c.d_{1}(x,y)$para quaisquer $x,y\in M$, então $d_{1}$mais fina do que $d_{2}$.

---Proposição: Sejam $M_{1}=(M,d_{1})$ e $M_{2}=(M,d_{2})$ espaços métricos sobre o mesmo conjunto $M$. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. $d_{1}\prec d_{2}$, quando a aplicação identidade $i_{12}:M_{1}\rightarrow M_{2}$ for contínua;
2. Para todo espaço métrico $N$, $f:M_{2}\rightarrow N$contínua $\Rightarrow {\displaystyle f:M_{1}\rightarrow N}$contínua, ou seja, toda aplicação contínua segundo $d_{2}$é contínua segundo $d_{1}$;
3. Se $f:M_{2}\rightarrow \mathbb {R}$é contínua então $f:M_{1}\rightarrow \mathbb {R}$é contínua;
4. Para todo $a\in M$, a função $d_{2a}:M_{1}\rightarrow \mathbb {R}$, definida por $d_{2a}(x)=d_{2}(a,x)$é contínua no ponto $a\in M$;
5. Toda bola aberta segundo $d_{2}$contém uma bola aberta de mesmo centro segundo $d_{1}$;
6. A função $d_{2}:M_{1}$x $M_{1}\rightarrow \mathbb {R}$ é contínua.

---Proposição: A aplicação injetiva $f:(M,d_{M})\rightarrow (N,d_{N})$é contínua se, e somente se, a métrica $d_{M}$é mais fina do que a métrica $d_{1}$, induzida em $M$ por $f$.

Exemplos:

• Como $f:(0,2\pi )\rightarrow S^{1}$, dada por $f(t)=(cos(t),sen(t))$, é uma bijeção contínua, segue- se que a métrica $d(x,y)=|x-y|$em $[0,2\pi )$é mais fina do que a métrica $d_{1}(x,y)={\sqrt {(cosx-cosy)^{2}+(senx-seny)^{2}}}$, induzida por $f$.

---Definição: Duas métricas $d_{1}$e $d_{2}$num espaço $M$chamam- se $equivalentes$quando cada uma delas é mais fina do que a outra, isto é, quando a aplicação identidade $i_{12}:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})$é homeomorfismo. Denotamos por $d_{1}\sim d_{2}$. A relação $d_{1}\sim d_{2}$é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Duas métricas discretas no mesmo espaço são sempre equivalentes. Se $d_{1}\sim d_{2}$e $d_{1}$é discreta, então $d_{2}$é discreta.

---Definição: A fim de que se tenha $d_{1}\sim d_{2}$ em $M$, é necessário e suficiente que qualquer bola aberta em relação a uma dessas métricas contenha uma bola aberta de mesmo centro em relação à outra.

Exemplos:

• As métricas $d,d'\;e\;d''$no plano $\mathbb {R^{2}}$são equivalentes, pois todo disco contém um quadrado com diagonais paralelas aos eixos, o qual contém um quadrado de lados paralelos aos eixos e este, por sua vez, contém um disco, todas essas figuras com o mesmo centro.
• Se existirem constantes $\alpha >0\;e\;\beta >0$tais que $\alpha .d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq \beta .d_{1}(x,y)$para quaisquer $x,y\in M$, então as métricas $d_{1}$e $d_{2}$são equivalentes pois a aplicação identidade $i_{12}:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})$e sua inversa $i_{21}:(M,d_{2})\rightarrow (M,d_{1})$são, neste caso, ambas lipschitzianas. Assim, por exemplo, no produto cartesiano $M=M_{1}$x ... x $M_{n}$, as métricas $d,d'\;e\;d''$são equivalentes, pois cumprem $d''\leq d\leq d'\leq n.d''$. Em particular, no espaço $\mathbb {R^{n}}$, as métricas $d(x,y)={\sqrt {\sum (x_{i}-y_{i})^{2}}}$, $d'(x,y)=\sum |x_{i}-y_{i}|$e $d''(x,y)=max|x_{i}-y_{i}|$são equivalentes.
• Seja $d'$uma métrica em $M$. Pondo $d_{1}(x,y)=d(x,y)/[1+d(x,y)]$e $d_{2}(x,y)=min\{1,d(x,y)\}$obtêm- se métricas em $M$. Afirmamos que $d_{1}$e $d_{2}$são ambas equivalentes a $d.$Em particular, vemos que toda métrica é equivalente a alguma métrica limitada, pois $d_{1}(x,y)\leq 1$e $d_{2}(x,y)\leq 1$.

---Proposição: A bijeção $f:(M,d_{M})\rightarrow (N,d_{N})$é um homeomorfismo se, e somente se, a métrica $d_{M}$é equivalente à métrica $d_{1}$, induzida em $M$por $f$.

---Corolário: A aplicação $f:(M,d_{1})\rightarrow (M,d_{2})$é contínua se, e somente se , a métrica $d_{f}:M$ x $M\rightarrow \mathbb {R}$, definida por $d_{f}(x,y)=d(x,y)+d_{1}(f(x),f(y))$é equivalente a $d$. Em particular, se $f:(M,d)\rightarrow \mathbb {R}$é contínua, então a métrica $d_{f}(x,y)=d(x,y)+|f(x)-f(y)|$é equivalente a $d.$

---Proposição: Sejam $M_{1}=(M,d_{1})$ e $M_{2}=(M,d_{2})$. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. $d_{1}\sim d_{2}$.
2. Uma aplicação $f:M\rightarrow N$é contínua segundo $d_{1}$se, e somente se , é contínua segundo $d_{2}$.
3. Uma função real $f:M\rightarrow N$é contínua segundo $d_{1}$se, e somente se , é contínua segundo $d_{2}$.
4. Para todo $a\in M$, as funções $d_{1a}:M_{2}\rightarrow \mathbb {R} \;e\;d_{2a}:M_{1}\rightarrow \mathbb {R}$, dadas por $d_{1a}(x)=d_{1}(a,x)\;e\;d_{2a}(x)=d_{2}(a,x)$, são contínuas no ponto $a.$
5. Toda bola aberta segundo uma dessas métricas contém uma bola aberta de mesmo centro segundo a outra.
6. As funções $d_{1}:M_{2}$x $M_{2}\rightarrow \mathbb {R}$e $d_{2}:M_{1}$x $M_{1}\rightarrow \mathbb {R}$são contínuas.
   

Em tese:

• Duas métricas, $d_{1}$ e $d_{2}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
• Duas métricas, $d_{1}$ e $d_{2}$, sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, $C_{1}$ e $C_{2}$ tais que:

$C_{1}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq C_{2}d_{1}(x,y)$

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

Referência

• Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas