Homotopia

Uma homotopia entre dois caminhos.

Em topologia, homotopia significa deformação de uma aplicação entre espaços topológicos.

Definição

Duas funções contínuas $f,g:X\rightarrow Y$ entre espaços topológicos dizem-se homotópicas se existir uma aplicação contínua $F:X\times [0,1]\rightarrow Y$ , chamada homotopia, tal que $F_{0}=f$ e $F_{1}=g$ , onde $F_{t}=F_{|X\times \{t\}}$ .

Grupos de homotopia

O n-ésimo grupo de homotopia de um espaço topológico $X$ , com ponto base $x_{0}$ , que se representa por $\pi _{n}(X,x_{0})$ , é o grupo constituído pelo conjunto das classes de homotopia das aplicações contínuas $\alpha :[0,1]^{n}\rightarrow X$ tais que $\alpha (\partial [0,1]^{n})=\{x_{0}\}$ , munido com a operação justaposição. O primeiro destes grupos denomina-se grupo fundamental.

Equivalência homotópica

Dois espaços topológicos $X$ e $Y$ dizem-se homotopicamente equivalentes se existirem aplicações contínuas entre esses espaços $f:X\rightarrow Y$ e $g:Y\rightarrow X$ tais $f\circ g$ e $g\circ f$ sejam homotópicas respectivamente às aplicações identidade de $Y$ e $X$ . Equivalência homotópica é a noção de igualdade traduzida pela ideia de deformação.