Espectro (matemática)

Em matemática, o espectro de uma matriz $M$ é o conjunto $\Sigma (M)$ dos autovalores de $M$. Pode-se definir, em geral, o espectro de um elemento qualquer de uma álgebra de Banach.

Definição

Seja $(A,+,*,\mathbb {C} )$ uma álgebra de Banach complexa munida com uma identidade multiplicativa $I$. Definimos o espectro de um elemento $a\in A$ por

$\sigma (a)=\{\lambda \in \mathbb {C} {\mbox{ tal que }}a-\lambda I\notin inv(A)\}.$

onde $inv(A)$ é o conjunto dos elementos invertíveis de $A$.

Exemplo 1

Seja $A=M_{n}(\mathbb {C} )$ a álgebra das matrizes quadradas de ordem n, com entradas complexas e munidas com a seguinte norma:

$\|A\|=\inf\{c:\|Av\|\leq c\|v\|{\mbox{ para todo }}v\in M_{n}(\mathbb {C} )\}.$

Para uma matriz $M$, segue da definição que $\sigma (M)$ coincide com o conjunto dos autovalores de $M$, isto é, o conjunto dos $\lambda$'s em $\mathbb {C}$ que satisfazem $det(M-\lambda I)\neq 0$.

Exemplo 2

Seja $X$ um espaço topológico de Hausdoff compacto. A norma do supremo

$\|f\|_{\infty }=\sup \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in \ X\right\},$

define uma estrutura de álgebra de Banach sobre a álgebra das funções a valores complexos sobre $X$, espaço denotado por $C(X,\mathbb {C} )$, ou simplesmente $C(X)$.

Em $C(X)$, é fácil mostrar que o espectro de uma função $f$ coincide com sua imagem.

Aplicações

Segue da definição que o espectro de um elemento $a$ de uma álgebra de Banach é um conjunto compacto, contido no disco em $\mathbb {C}$ centrado na origem e de raio $||a||$.

O conceito de espectro é amplamente utilizado na análise funcional, e principalmente na teoria de álgebras C*. Um resultado importante que envolve espectro é conhecido como o Teorema Espectral.

Uma das consequências do teorema espectral é a seguinte: dado um operador limitado $T$ sobre um espaço de Hilbert da forma $L^{2}(X,\mu )$, (onde $(X,\mu )$ é um espaço de medida), pode-se definir de forma satisfatória $f(T)$, para qualquer função contínua em $C(\sigma (A))$. Este procedimento é conhecido como cálculo funcional contínuo.