Em matemática e em particular na análise, uma equação diferencial ordinária (ou EDO) é uma equação que envolve as derivadas de uma função desconhecida de uma variável. Um exemplo simples de uma equação diferencial ordinária é
onde é uma função desconhecida, e a sua derivada.
Definição
Seja y uma função de x e que
denote as suas derivadas
- .
Uma equação diferencial ordinária (EDO) é uma equação que envolve
- .
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da maior derivada na equação.
Uma solução de uma EDO é uma função y(x) cujas derivadas satisfazem a equação. Não está garantido que tal função exista, e caso exista, normalmente ela não é única.
Quanto à linearidade: uma equação diferencial ordinária de ordem n pode ser vista como uma função
- . Dizemos que a equação diferencial é linear se for linear em . [1]
Ao que se refere aos coeficientes, uma equação diferencial pode ter coeficientes constantes ou funções da variável independente.
Quando uma equação diferencial de ordem n tem a forma
é designada equação diferencial implícita, enquanto que a forma
é designada equação diferencial explícita.
Uma equação diferencial é autônoma se não depender explicitamente de x, e homogênea se todos os termos da equação diferencial dependem exclusivamente de x.
Exemplos práticos
Equações diferenciais são usadas muito frequentemente para descrever processos nos quais a mudança de uma medida ou dimensão é causada pelo próprio processo.
Historicamente, as primeiras equações diferenciais foram as relativas à aceleração igual ou desigual, que Galileo Galilei pôde medir, ainda que com métodos geométricos.
Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduziram o cálculo diferencial e, este último, as equações diferenciais como as conhecemos hoje.
Por exemplo na Física, a lei da vida média prevê que o número de átomos que se decompõem por unidade de tempo numa massa de átomos instáveis dependem do total N dos átomos existentes (aqui é necessário considerar-se que, por ser N um número muito grande, pode-se considerar sua variação contínua e determinística; no caso de N ser um número pequeno deve-se considerar sua variação discreta e estocástica, e o método mais adequado é outro).
Desta forma, a diminuição do número de átomos é proporcional ao total de átomos:
Pelo cálculo da função nesta equação diferencial, torna-se possível determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.
Um outro exemplo simples é o oscilador inalterado harmónico com a equação diferencial
A função procurada aqui é a função , cuja segunda derivada em relação ao tempo advém das leis do movimento.
Equações diferenciais específicas
Equações diferenciais lineares
Uma EDO é linear quando os termos envolvendo a função a ser determinada aparecem apenas de forma linear, ou seja, podemos escrever a EDO como
Esta equação é de grau n quando a função fn(x) não é identicamente nula.
Outros casos
- Equação diferencial de Bernoulli
- Equação de Clairaut
- Equação diferencial de d'Alembert
- Equação diferencial de Euler
- Equação de Riccati
Solução de uma Equação Diferencial Ordinária
Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz a identidade da equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.[2]
Exemplo
Solução particular:
Solução geral: (C constante)
As soluções se classificam em:
- Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n=ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas
- Solução particular - obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).[3]
Métodos para resolução de EDO
A habilidade em encontrar soluções exatas em geral depende da habilidade em reconhecer certos tipos de equações diferenciais e da aplicação de um método específico. Em outras palavras, o que funciona para um tipo de equações diferenciais não necessariamente se aplica a outro tipo.[4] Os métodos mais conhecidos são:
- Método do Fator Integrante
- Equações Separáveis
- Método da variação de parâmetros
- Equação diferencial exata
- Redução de Ordem
- Coeficientes a determinar
- Equações homogêneas de primeira ordem
- Redutível à homogênea
Os métodos citados são todos analíticos, ou seja, a solução pode ser encontrada de forma explícita. Duas formas adicionais são aplicadas:
Referências
- ↑ E. Boyce, William; Diprima, Richard C. (2006). Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno oitava ed. Rio de Janeiro: LTC. ISBN 978-85-216-1499-9
- ↑ «Equações Diferenciais Ordinárias» (PDF). Consultado em 15 de dezembro de 2017
- ↑ «Equações Diferenciais». Consultado em 26 de outubro de 2012
- ↑ «Equações Diferenciais de Variáveis Separáveis». Consultado em 6 de novembro de 2012
Ver também
- Equação diferencial
- Equação diferencial parcial
- Métodos numéricos/Equações diferenciais ordinárias (wikilivro)
- Equações diferenciais estocásticas
- Sistemas Dinâmicos