Equação diferencial de d'Alembert

A equação diferencial de d'Alembert é uma equação diferencial ordinária não linear de primeira ordem, da forma:

$y(x)=xg(y'(x))+f(y'(x)).$

Ela recebe o nome de Jean Baptiste le Rond d'Alembert. Pela derivação em ordem a x temos:

$y'=g(y')+(xg'(y')+f'(y'))y''$.

Substituímos y' pela nova variável z e dividimos por z':

${\frac {(z-g(z))}{z'}}-xg'(z)=f'(z)$.

Agora consideramos x como uma função de z e obtemos uma equação diferencial para x(z):

$(z-g(z))x'(z)-xg'(z)=f'(z)$

A equação de Clairaut é um caso especial desta equação diferencial.