Correlação

Este artigo abrange a correlação entre duas variáveis. O termo correlação pode também significar a relação invertida de duas funções ou a correlação eletrônica em sistemas moleculares.

Em probabilidade e estatística, correlação, dependência ou associação é qualquer relação estatística (causal ou não causal) entre duas variáveis e correlação é qualquer relação dentro de uma ampla classe de relações estatísticas que envolva dependência entre duas variáveis. Por exemplo, a correlação entre a estatura dos pais e a estatura dos pais e dos filhos. Embora seja comumente denotada como a medida de relação entre duas variáveis aleatórias, correlação não implica causalidade. Em alguns casos, correlação não identifica dependência entre as variáveis. Em geral, há pares de variáveis que apresentam forte dependência estatística, mas que possuem correlação nula. Para este casos, são utilizadas outras medidas de dependência.

Informalmente correlação é sinônimo de dependência. Formalmente variáveis são dependentes se não satisfizerem a propriedade matemática da independência probabilística. Em termos técnicos, correlação refere–se a qualquer um dos vários tipos específicos de relação entre os valores médios. Existem diferentes coeficientes de correlação (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho} ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} ) para medir o grau de correlação. Um dos coeficientes de correlação mais conhecidos é o coeficiente de correlação de Pearson, obtido pela divisão da covariância de duas variáveis pelo produto dos seus desvios padrão e sensível a uma relação linear entre duas variáveis. Entretanto, há outros coeficientes de correlação mais robustos que o coeficiente de correlação de Pearson. Isto é, mais sensíveis às relações não lineares.

Histórico

Os conceitos de correlação e de regressão originaram—se nos anos de 1880 com Sir Francis Galton (1822 – 1911), de acordo com sua autobiografia Memories of My Life, publicada em 1890. Em seus estudos sobre o diâmetro das sementes das ervilhas—de—cheiro, Galton chegou à equação de reversão à média:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y - \bar y = r(x - \bar x)} ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } são o diâmetro das sementes das plantas filhas, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } são o diâmetro das sementes das plantas pais e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } é a reversão (posteriormente, regressão). Em suas pesquisas sobre a comparação entre estaturas de pais e filhos, Galton usou o termo regressão pela primeira vez para denotar a regressão à média da população observada. Com base na análise da tábua de frequência bidimensional representada pelas alturas dos filhos adultos e meio—pais (média do pai e da mãe), Galton chegou à fórmula da superfície da representação gráfica (atualmente, a fórmula da função normal bidimensional) e à expressão da co—relação (atualmente, correlação) como conseqüência das variações devidas a causas comuns.

O desenvolvimento da correlação, com a publicação de Natural Inheritance em 1889, marca o início do período moderno da estatística. A correlação prometia ser útil em muitos campos científicos, especialmente diante da necessidade de estabelecer diretrizes de causalidade. Entretanto, na época de Galton a disciplina de teoria estatística era não existia na Inglaterra (não havia curso universitário revistas especializadas sobre o assunto). Então, Galton percebeu que regressão e correlação poderiam ser o ponto de partida de uma nova disciplina, embora fosse preciso organizar as contribuições dispersas e estruturar o conhecimento de modo sistemático. Por volta de 1890, este contexto começou a chamar atenção de estatísticos e jovens cientistas como Edgeworth, Weldon e Pearson.

Weldon e Pearson

A expressão de correlação foi modificada pelo professor de Zoologia em Cambridge Walter Frank Raphael Weldon (1860 – 1906), que incorporou o sinal positivo e o sinal negativo a partir da análise das dimensões de 22 pares de órgãos de várias espécies de camarões. Entretanto, a atual fórmula do coeficiente de correlação foi determinada em 1896 por Karl Pearson (1857 – 1936). Em Mathematical Contributions to the Theory of Evolution, Pearson publicou entre 1893 e 1912 suas contribuições para a análise de regressão, o coeficiente de correlação e o teste qui—quadrado de significância estatística. Especialmente, o coeficiente de correlação produto—momento de Pearson com foi desenvolvido com base em um conjunto de dados sobre estatura de pais e filhos (inicialmente coletados por Galton), tornando—se a primeira medida de força de associação em estatística.

Edgeworth

Em 1892, Francis Ysidro Edgeworth (1845 – 1926) publicou parte do seu trabalho sobre correlação em Philosophical Magazine com base nas contribuições prévias de Galton. Nos artigos Correlated Averages e The Law of Error and Correlated Averages, Edgeworth introduziu o termo coeficiente de correlação, forneceu a primeira análise matemática de correlação e mostrou sua relação com a distribuição multivariada normal. Entre 1893 e 1895, Edgeworth publicou a continuação do seu trabalho sobre correlação na Philosophical Magazine e na Journal of the Royal Statistcal Society. Por exemplo, o resumo de Recent Contributions to thew Theory of Statistics, que culminou em quatro importantes trabalhos Statistics on Unprogressive Communities, The Assymetrical Probability Curve, The Compound Law of Error e Supplementary Notes on Statistics.

Correlação linear

Os diferentes setores da sociedade utilizam amostras Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta} de populações Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} , em vez de populações de dados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha} , para auxiliar nas análises dos objetivos das suas áreas de conhecimento. Isto ocorre porque um conjunto reduzido de dados (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta < \alpha} ) torna o processo mais econômico e mais rápido do ponto de vista matemático. Isto deve–se aos erros de arredondamentos dos cálculos que são feitos em estatística, considerando que uma grande quantidade de dados envolve mais cálculos que uma pequena quantidade de dados.

Correlação populacional

A correlação populacional trata da medida da direção e do grau com que as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } se associam linearmente em uma população. O coeficiente de correlação populacional Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_{X,Y}} entre duas variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } com valores esperados Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_X} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu_Y} e desvios padrão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_X} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma_Y} é definido como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \rho_{X,Y}\equiv\mathrm{corr}(x,y)={\mathrm{cov}(X,Y) \over \sigma_X \sigma_Y} ={E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)] \over \sigma_X\sigma_Y},}

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E } é o operador do valor esperado, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{cov} } é a covariância e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{corr} } é uma notação alternativa para coeficiente de correlação.

O coeficiente de correlação é simétrico: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{corr}(X,Y) = \operatorname{corr}(Y,X) } .

O coeficiente de correlação de Pearson é +1 no caso de uma relação linear (correlação) direta perfeita (crescente), -1 no caso de uma relação linear (anticorrelação) decrescente perfeita (inversa) e qualquer valor no intervalo aberto (-1, 1) nos outros casos indicando o grau de dependência linear entre as variáveis. É um corolário da desigualdade de Cauchy–Schwarz, em que a correlação não pode exceder 1 em valor absoluto. Quanto mais próximo de 0, mais fraca a correlação entre as variáveis (mais próximas de não correlacionados). Quando mais próximo de -1 ou +1, mais forte a correlação entre as variáveis.

Se as variáveis forem independentes, o coeficiente de correlação de Pearson é 0. Entretanto, o contrário não é verdadeiro porque o coeficiente de correlação detecta apenas dependências lineares entre duas variáveis. Por exemplo, suponha–se que a variável aleatória Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } é simetricamente distribuída em torno de 0 e que a variável aleatória Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = X^2 } . Então, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } é completamente determinada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } , de modo que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } são perfeitamente dependentes, mas a correlação entre elas é 0. Em outras palavras, as variáveis não são correlacionadas. Entretanto, no caso especial em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } são conjuntamente normais, não correlação é equivalente à independência.

Correlação amostral

Coeficiente de correlação de Pearson

Ver artigo principal: Coeficiente de correlação de Pearson

A correlação amostral trata da medida da direção e do grau com que as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } se associam linearmente em uma amostra. Karl Pearson desenvolveu o coeficiente amostral a partir de uma ideia semelhante, porém ligeiramente diferente da de Francis Galton. Então, o coeficiente amostral pode ser chamado de coeficiente produto–momento de Pearson, coeficiente de correlação de Pearson ou simplesmente coeficiente de correlação, que é a medida mais conhecida de dependência entre duas variáveis quantitativa.

Para uma série de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } medições de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i } para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 1, 2, ..., n } , o coeficiente de correlação da amostra pode ser usado para estimar o coeficiente de correlação de Pearson da população Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } . Então, o coeficiente de correlação da amostra é escrito como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{S_xS_y}=\frac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \sum\limits_{i=1}^n (y_i-\bar{y})^2}} } ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bar y } são as médias amostrais de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } .

O coeficiente de correlação de Pearson Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{xy} } é definido apenas se os desvios padrão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_y } forem finitos e diferentes de zero. Isto também pode ser escrito como:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} r_{xy} =\frac{\sum x_iy_i-n \bar{x} \bar{y}}{n s_x s_y} =\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2}}. \end{align} }

Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } são resultados de medições que contêm erros de medições, os limites realistas no coeficiente de correlação não são -1 para +1, mas um intervalo menor.

No caso de um modelo linear com uma única variável independente, o coeficiente de determinação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^2 } é o quadrado do coeficiente de correlação de Pearson Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } .

Propriedades de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} para variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y }

1. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 < r < 1 }
2. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = 1} : relação linear perfeita e positiva
3. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = 0}  : inexistência linear
4. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r = -1} : relação linear perfeita e negativa
5. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r > 0 }  : relação linear positiva
6. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r < 0 }  : relação linear negativa
7. Se os valores das variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } são convertidos para uma escala diferente, o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } não é alterado
8. O valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } não é afetado pela escolha das variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y }
9. Permutando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } , o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r } não é alterado
10. Mede direção e o grau (intensidade) com que as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } as quais se associam linearmente
11. Não é útil para casos não-lineares

Interpretação geométrica

As duas séries de valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = (x_1, \ldots, x_n)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = (y_1, \ldots, y_n)} podem ser consideradas vetores em um espaço de dimensão Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . Com a substituição por vetores centrados nas médias, têm-se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X = (x_1 - \bar x, \ldots, x_n - \bar x)} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = (y_1 - \bar y, \ldots, y_n - \bar y)} .

O cosseno do ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } entre os vetores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y} , usando a norma euclidiana e o produto escalar normalizado, é dado pela fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\alpha) = \dfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)\cdot(y_i - \bar y)}{\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (x_i - \bar x)^2}\cdot\sqrt{\displaystyle \sum_{i=1}^N (y_i - \bar y)^2}}} ,

Portanto, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos(\alpha) = r_{xy} } , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{xy} } está sempre -1 e 1.

O coeficiente de correlação é o cosseno do ângulo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } entre os dois vetores centrados:

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=0^\circ } , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=1 } e os dois vetores são colineares (paralelos);
• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=90^\circ } , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=0 } e os dois vetores são ortogonais;
• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha=180^\circ } , então Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=-1 } e os dois vetores são colineares, mas em direções opostas.

Mais genericamente, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \arccos(r)} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos} é a função inversa do cosseno. Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } representa, do ponto de vista geométrico, a intensidade da correlação entre os dois vetores aleatórios Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } , o que não pode ser medido em um teste de significância.

Mais genericamente, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = \arccos(r)} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \arccos} é o inverso da função cosseno. Do ponto de vista geométrico, não se fala em correlação linear. O coeficiente de correlação sempre tem um significado, independentemente do valor entre -1 e 1.

Correlação não linear

Coeficiente de correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } (ETA)

O coeficiente de correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta } (ETA) ou razão de correlação mede a intensidade de associação entre variável dependente e independente para casos não–lineares. Isto é, trata a relação de uma variável quantitativa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} e outra variável categórica ou nominal Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . Expressa–se em percentagem. Assume valores entre 0 e 1.

O coeficiente de correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta }  é dado pela expressão matemática:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \eta^2(G|X) = \frac{\mathbb{Var}(\mathbb{E}(G|X))}{\mathbb{Var}(G)}}

Onde,Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G = G(x_1, x_2, x_3, ..., x_n)} é uma função. Ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y = G} .

Correlação de postos de Spearman

A correlação de postos de Spearman é utilizada para a relação entre dados não–lineares. Quando os dados de uma amostra são ordenados de forma crescente, obtém–se uma condição de ordem para que cada elemento ordenado seja um posto.

A correlação de postos de Spearman é dada pela expressão matemática:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_s = 1 - \frac{6 \cdot \sum_{i=1}^{n} d^2_i}{n^3 - n}} ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d_i = r_{x_i} - r_{y_i} } , cm que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{x_i} } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{y_i} } variando de 1 a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} a quantidade de elementos da amostra.

Correlação de postos de Kendall

A correlação de postos de Kendall, também conhecido como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall, é uma medida a partir de uma amostra de dados ordenados como a correlação de postos de Spearman. A vantagem de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall é a generalização para um coeficiente de correlação parcial.

A correlação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall é dada pela expressão matemática:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau = \frac {n_c - n_d}{\frac{1}{2}n(n-1)}} ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_c} são os números de pares concordantes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_d} são os números de pares discordantes e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} é a quantidade de elementos da amostra.

Classificação dos coeficientes de correlação

Coeficientes de correlação como correlação de postos de Spearman e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall medem a como uma variável aumenta enquanto outra variável também aumenta, sem exigir que o aumento seja representado por uma relação linear. Se, à medida que uma variável aumenta, uma outra variável diminui, os coeficientes de correlação de postos serão negativos. É comum considerar estes coeficientes de correlação de postos como alternativas ao coeficiente de correlação de Pearson, usado tanto para reduzir a quantidade de cálculo quanto para tornar o coeficiente menos sensível para distribuições não normais. Entretanto, esta visão tem pouca base matemática, na medida em que coeficientes de correlação de postos medem um tipo de relação diferente do coeficiente de correlação de Pearson e são melhor vistos como medidas de um tipo de associação diferente em vez de medidas alternativas do coeficiente de correlação da população.

Para ilustrar a natureza dos coeficientes de correlação de postos, sejam os seguintes pares de números Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x, y): (0, 1), (10, 100), (101, 500), (102, 2000)} . De um par para outro, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} aumentam. A relação é perfeita no sentido que o aumento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} sempre é acompanhado do aumento de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} . Isto corresponde a uma correlação de posto perfeita e tanto a correlação de postos de Spearman quanto o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall são iguais a 1, enquanto que o coeficiente de correlação de Pearson é igual a 0,7544, indicando que os pontos estão longe de cair em uma linha reta. Da mesma maneira, se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} sempre diminuir quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} aumentar, o coeficiente de correlação de postos será -1 enquanto o coeficiente de correlação de Pearson poderá ou não poderá ser próximo de -1, dependendo do quão próximo os pontos estiverem de uma linha reta. Embora em casos extremos de correlação de posto perfeita ambos os coeficientes seja iguais (+1 ou -1), este geralmente não é o caso. Então, valores de dois coeficientes não podem ser comparados. Por exemplo, para os três pares Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1, 1) (2, 3) (3, 2)} a correlação de postos de Spearman é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{2}} e o Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tau } de Kendall é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{3}} .

Regressão linear

A regressão linear estuda a relação entre muitas ou poucas variáveis. A relação entre duas variáveis é chamada de regressão linear simples. A relação entre mais de duas variáveis é chamada de regressão linear múltipla.

Regressão linear simples

A regressão linear simples estuda a relação entre uma variável independente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e outra variável dependente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } , ambas quantitativas. A regressão linear resulta em uma equação sobre o comportamento das variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i } ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i } é a variável resposta associada a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } –ésima observação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i } é a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } –ésima observação do valor independente e fixado para a variável independente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x } , Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_i } é o erro aleatório para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i } –ésima observação e, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } são os parâmetros que precisam ser estimados.

Por meio da correlação linear, encontra–se o gráfico de uma reta que possui as características de coeficiente angular e de coeficiente linear. Em termos matemáticos, a equação geral de uma reta é dada por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = ax + b } , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a } é o coeficiente angular e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b } é o coeficiente linear. Como a regressão linear é uma equação de uma reta, em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } é o coeficiente linear e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } o coeficiente angular para o mesmo grupo de dados amostrais, admite–se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = b } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta = a } . Portanto, encontrando–se uma correlação linear de uma amostra de dados, obtém–se a estimação dos parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } para a regressão linear.

Uma regressão linear é construída a partir de uma reta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1} , determinada por uma correlação linear. Então, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1} possui pontos cartesianos para determinar o coeficiente linear e o coeficiente angular para estabelecer os parâmetros Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } da regressão linear. Como Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_i } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i } são observações amostrais e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \varepsilon_i } é o erro amostral, encontra–se o valor Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_i } . Uma reta de regressão pode ser determinada somente com os valores Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \beta } .

Método dos mínimos quadrados

O cálculo do coeficiente de correlação entre duas variáveis é dado pelo ajuste linear. Para o cálculo das características da linha, o erro cometido ao representar a relação entre as variáveis precisa ser o menor possível. Embora não seja o único critério possível, na maioria das vezes minimiza–se a soma de todos os erros cometidos ao quadrado. Isto é chamado de ajuste para o método dos mínimos quadrados, que resulta na linha de regressão (quanto melhor a qualidade de representação da relação entre as variáveis pela linha de regressão, maior a associação do coeficiente de correlação linear). O método dos mínimos quadrados é uma forma ágil para determinar os parâmetros desconhecidos para uma equação resultante de uma regressão linear, uma vez que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos. O método dos mínimos quadrados é útil se os resíduos tiverem distribuição normal.

Exemplos

Área comercial (correlação linear)

O setor comercial procura investir em propagandas para aumentar as vendas. Um gráfico de dispersão mostra se há uma correlação linear entre vendas e custo de propaganda. Supondo que uma empresa Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} tem o cenário conforme a tabela abaixo.

A partir do gráfico de dispersão da tabela acima, encontra–se uma correlação linear que mostra uma tendência entre investimento em propaganda e retorno positivo em vendas. É possível estimar um retorno de vendas com um aumento no custo em propaganda pelo cálculo matricial por meio da equação geral da reta Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax + b = c} , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} são os valores independentes que correspondem aos custos de propaganda e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} são os valores de retorno tratados para o cálculo do vetor chamado na tabela A de lucro sobre cada item. Esse cálculo é uma generalização método dos mínimos quadrados.

Então,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\displaystyle ax+b=c} \Rightarrow \begin{matrix} 1,00a + b = 5,5 \\ 1,15a + b = 5,4 \\ 1,50a + b = 5,6 \\ 2,00a + b = 5,9 \\ 2,20a + b = 6,0 \\ 10,00a + b = 20,0 \\ \end{matrix} \Rightarrow A = \begin{bmatrix} 1,00 & 1,0 \\ 1,15 & 1,0 \\ 1,50 & 1,0 \\ 2,00 & 1,0 \\ 2,20 & 1,0 \\ 10,00 & 1,0 \end{bmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{bmatrix} 1,0 & 1,15 & 1,5 & 2,0 & 2,2 & 10,0 \\ 1,0 & 1,0 & 1,0 & 1,0 & 1,0 & 1,0 \\ \end{bmatrix} }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c = \begin{bmatrix} 5,5 \\ 5,4 \\ 5,6\\ 5,9 \\ 6,0 \\ 20,0 \end{bmatrix}}

A relação entre as variáveis é:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A^T \cdot A) x = A^Tc } ,

em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \begin{bmatrix} a\\ b\\ \end{bmatrix}} .

Realizando-se o cálculo entre as matrizes, obtém-se:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (A^T \cdot A)x = A^Tc \Rightarrow \begin{bmatrix} 113,41 & 17,85 \\ 17,85 & 6 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 245,11 \\ 48,4 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 113,41 & 17,85 \\ 17,85 & 6 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 245,11 \\ 48,4 \\ \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1,677 \\ 3,078 \end{bmatrix} }

Portanto, com um investimento de 12 mil reais em propaganda no próximo mês, o lucro será de:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1,677x + 3,078 = c \Rightarrow 1,677(12) +3,078 = c \Rightarrow c = 23,202\text{ (23 mil e 202 reais) } }

Área da saúde (correlação não linear)

Para se manter saudável, o consumo de água é indispensável. Uma gestora pública solicita à uma consultoria para verificar se há relação entre o consumo de água e a massa corporal de uma pessoa. A tabela B mostra indivíduos que fazem o consumo de água.

Com a elaboração do diagrama de dispersão sobre a Tabela B, torna-se intuitivo pela plotagem (visualização) a não linearização entre massa e consumo de água. Embora necessárias, a intuição e a visualização não são suficientes para provar que não há relação linear. Dessa forma, o cálculo pelo coeficiente de Pearson facilita a demonstração da ausência de linearização para o objetivo da gestora pública. Para o cálculo é utilizado neste exemplo a segunda versão do coeficiente de Pearson, embora visualmente a fórmula seja mais extensa, ela é mais direta. Então,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_{xy}=\frac{n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i}{\sqrt{n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}~\sqrt{n\sum y_i^2-(\sum y_i)^2}} }

Análise rápida sobre o cálculo

Neste exemplo, o coeficiente de Pearson tem o numerador Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i } igual a zero. Portanto, a razão é zero, o que significa inexistência linear. Em cálculo,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\sum x_iy_i-\sum x_i\sum y_i = (6 \cdot 236.180) - (482 \cdot 2.940) = 1.417.080 - 1.417.080 = 0 } .

A consultoria retorna a demonstração e a plotagem dos dados para a gestora pública que determina os planos de ações sobre o controle da reserva de água.

Outras medidas de dependência entre variáveis

A informação fornecida por um coeficiente de correlação não é suficiente para definir a estrutura de dependência entre variáveis. O coeficiente de correlação define completamente a estrutura de dependência apenas em casos particulares como uma distribuição normal multivariada. No caso de distribuições elípticas, caracteriza as (hiper)elipses de igual densidade. Entretanto, não caracteriza completamente a estrutura de dependência. Por exemplo, os graus de liberdade de uma distribuição t multivariada determinam o nível de dependência de cauda.

Correlação da distância — Foi introduzida para endereçar a deficiência da correlação de Pearson que pode ser 0 para variáveis dependentes. Uma correlação de distância igual a 0 implica independência.

Coeficiente de dependência randomizado — É uma medida baseada em cópula computacionalmente eficiente da dependência entre variáveis multivariadas. O coeficiente de dependência randomizado é invariante em relação a escalas não lineares de variáveis e é capaz de descobrir uma ampla variedade de padrões de associação funcionais e assume o valor 0 na independência.

Proporção de correlação — É capaz de detectar praticamente qualquer dependência funcional.

Informação mútua baseada na entropia / Correlação total / Correlação total dupla — São capazes de detectar ainda mais dependências gerais. Estas medidas de dependência às vezes são referidas como medidas de correlação de múltiplos momentos em comparação com aquelas medidas de dependência que consideram apenas a dependência do segundo momento (pairwise ou quadrática).

Correlação policórica — É outra correlação aplicada a dados ordinais que buscam estimar a correlação entre as variáveis latentes teorizadas. Uma forma de capturar uma visão mais completa da estrutura de dependência é considerar uma cópula entre elas.

Coeficiente de determinação — Generaliza o coeficiente de correlação para relações além da regressão linear simples.

Sensibilidade à distribuição dos dados

Os coeficientes de correlação de Pearson / Spearman entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} são mostrados quando os intervalos das duas variáveis ​​são irrestritos e quando o intervalo de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} é restrito ao intervalo (0,1).

O grau de dependência entre as variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } não depende da escala, na qual as variáveis são expressas. Isto é, quando se analisa a relação entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } , a maior parte das medidas de correlação não são afetadas pela transformação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+bX } e de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c+dY } , em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a,b,c,d } são constantes (sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b,d } positivos). Isto é verdade para algumas estatísticas de correlação, assim como para os análogos da sua população. Algumas estatísticas de correlação como o coeficiente de correlação de postos também são invariantes para transformações monótonas de distribuições marginais de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e/ou Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } .

A maioria das medidas de correlação são sensíveis à maneira pela qual Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } são amostradas. As dependências tendem a ser mais fortes se vistas sobre uma variedade mais ampla de valores. Portanto, se for considerado o coeficiente de correlação entre as alturas dos pais e filhos entre todos os homens adultos e isto for comparado com o mesmo coeficiente de correlação calculado quando os pais selecionado têm entre 1,65m e 1,70m de altura, a correlação será mais fraca no último caso. Várias técnicas que foram desenvolvidas que tentam corrigir a restrição do intervalo em uma ou em ambas as variável são comumente usadas em metanálise. As equações do caso III e do caso II de Thorndike são as mais comuns.

Várias medidas de correlação em uso podem ser indefinidas para certas distribuições conjuntas de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } . Por exemplo, o coeficiente de correlação de Pearson é definido em termos de momentos. Portanto, será indefinido se os momentos também forem indefinidos. As medidas de dependência basedas em quantis são sempre definidas. As estatísticas baseadas em amostras que estimam as medidas populacionais de dependência podem ou não podem ter propriedades estatísticas desejáveis, como não ser viesada ou assintoticamente consistente, com base na estrutura espacial da população a partir da qual os dados foram amostrados.^{[carece de fontes]}

A sensibilidade à distribuição dos dados tem uma vantagem. Por exemplo, a correlação em escala é designada para usar a sensibilidade ao intervalo para identificar correlações entre componentes rápidos de séries temporais. Reduzindo o intervalo de valores de maneira controlada, as correlações em uma longa escala de tempo são filtradas e apenas as correlações em uma curta escala de tempo são reveladas.

Matrizes de correlação

A matriz de correlação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_1, ..., X_n } é a matriz Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \times n } , cujo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i, j } -ésimo elemento da matriz é Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{corr}(X_i, X_j) } . Se as medidas de correlação usadas são coeficientes de produto—momento, a matriz de correlação é igual a matriz de covariância das variáveis padronizadas Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{X_i}{\sigma(X_i)} } para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=1, ..., n }  . Isto é aplicado tanto para matriz de correlações populacionais (caso em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma } denota o desvio padrão populacional) quanto para matriz de correlações amostrais (caso em que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma } denota o desvio padrão amostral). Consequentemente, cada uma é necessariamente uma matriz semidefinida—positiva. Além disso, a matriz de correlação é estritamente definida positiva se nenhuma variável puder ter todos os seus valores exatamente gerados como uma combinação linear dos outros. A matriz de correlação é simétrica porque a correlação entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_i } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_j } é igual a correlação entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_j } e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_i } . Por exemplo, uma matriz de correlação aparece, por exemplo, na fórmula para o coeficiente de correlação múltipla (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} ), uma medida de qualidade de ajuste em regressão múltipla: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R^2 =c^TR_{XX}^{-1}c} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} é o vetor de correlações entre as variáveis independentes Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_{n}} e a variável dependente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y_i} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R_{XX}} é a matriz de correlação.

Interpretação

Exemplos de coeficientes de correlação. Nas duas primeiras linhas, ocorre correlação linear. Na terceira linha, ocorre correlação não linear.

Correlação	Negativa	Positiva
Baixa	de -0,5 à 0	de 0 à 0,5
Alta	de -1 à -0,5	de 0,5 à 1

É igual a 1, se uma das variáveis ​​é uma função linear crescente da outra variável. É igual a -1, se uma variável é uma função decrescente. Os valores intermédios fornecem informações sobre o grau de dependência linear entre as duas variáveis. Quanto mais próximo o coeficiente estiver dos valores extremos -1 e 1, mais forte é a correlação linear entre as variáveis. Uma correlação igual a 0 significa que as variáveis ​​não estão linearmente correlacionadas, mas podem estar correlacionado de forma não linear.

O coeficiente de correlação não é sensível às unidades de cada variável. Por exemplo, o coeficiente de correlação linear entre a idade e o peso de uma pessoa será a mesma idade medida em semanas, meses ou anos. Entretanto, este coeficiente de correlação é extremamente sensível à presença de outliers no conjunto de dados (valores muito discrepantes, que podem ser considerados exceções).

Vários autores propuseram diretrizes para a interpretação de um coeficiente de correlação. No entanto, Jacob Cohen observa que estes critérios são de certa forma arbitrários e não devem ser muito estritamente observados. A interpretação de um coeficiente de correlação depende do contexto e dos objetivos. Por exemplo, uma correlação de 0,9 pode ser considerada muito baixa se uma lei física for verificada utilizando ferramentas de qualidade, mas pode ser considerada muito alto nas ciências sociais em que pode haver uma maior presença de fatores complicadores.

Dependência

É sempre possível calcular um coeficiente de correlação para variáveis (exceto para casos muito especiais), mas este coeficiente de correlação nem sempre é capaz de explicar a relação entre as variáveis. Em uma tentativa de julgar a existência de uma relação linear entre duas variáveis, não é adequado julgar as correlações quando as relações entre elas não são lineares ou quando os dados são muito heterogêneos, uma vez que não há uma relação de causa e efeito entre as variáveis. Se as duas variáveis aleatórias forem completamente independentes, então a correlação entre elas é nula. Entretanto, o inverso não necessariamente é verdadeiro, isto é, coeficiente de correlação nulo não não necessariamente implica independência entre as variáveis, pois se as variáveis apresentarem uma relação não linear (Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y=X^2} , por exemplo), o coeficiente de correlação será nulo, mesmo sendo relacionadas. Estas considerações são ilustradas pelos seguintes exemplos no domínio de estatísticas:

MATRIZ DE CORRELAÇÃO
	Estatura	Busto	Membro Superior
Estatura	1
Busto	0,85	1
Membro Superior	0,55	0,63	1

Por exemplo, em antropometria são medidos para um certo número de indivíduos a estatura, a altura do busto e o comprimento do membro superior. Quanto maiores as medições, mais representativas são as correlações. Então, calculando por leis estatísticas a influência de algumas variáveis sobre outras, obtém–se a matriz ao lado (com valores fictícios).

• O valor 1 significa que as duas variáveis são exatamente correlacionadas. É o caso de uma relação linear entre as duas variáveis;
• O valor 0,85 significa que a estatura responde por 72,25% (0,85 × 0,85) do valor da altura do busto e assim por diante;
• A outra metade em falta da matriz pode ser completado por uma simetria ao longo da diagonal se as correlações forem reversíveis.

Precauções

Os quatro conjunto de dados possuem coeficiente de correlação de 0,816. No primeiro gráfico, a distribuição parece ser normalmente distribuída e corresponde ao que se esperaria ao considerar duas variáveis ​​correlacionadas e seguindo o pressuposto de normalidade. No segundo gráfico, a distribuição não é normalmente distribuída. Embora uma relação óbvia entre duas variáveis possa ser observada, ela não é linear. Neste caso, o coeficiente de correlação de Pearson não indica que há uma relação funcional exata – apenas a medida em que esta relação pode ser aproximada por uma relação linear. No terceiro gráfico, a relação linear é perfeita com exceção de um outlier que exerce influencia suficiente para reduzir o coeficiente de correlação de 1 para 0,816. No quarto gráfico, há outro exemplo de quando um outlier é suficiente para produzir um alto coeficiente de correlação, mesmo se a relação entre as duas variáveis não for linear.

Em geral, o estudo da relação entre as variáveis deve ser acompanhado de gráficos descritivos para a apreensão dos dados à disposição para evitar incorrer os limites estritamente técnicos dos cálculos utilizados. Entretanto, quando se trata de se concentrar nas ligações entre diversas variáveis, as representações gráficas podem não ser possíveis ou podem não ter os dados dispersos de uma forma que seja imediatamente possível identificar a correlação. Os cálculos podem então ajudar a simplificar as interpretações possíveis sobre as ligações entre as variáveis e/ou indicarem as principais hipóteses necessárias para boas leituras.

Correlação e causalidade

A expressão correlação não implica causalidade significa que correlação não pode ser usada para a relação causal entre as variáveis. Por exemplo, a quantidade de queimaduras de sol pode estar fortemente correlacionada ao número de óculos de sol vendidos em uma cidade litorânea, mas nenhum fenômeno é provavelmente a causa do outro. Entretanto, por mais que a expressão não signifique que as correlações não podem indicar a potencial existência de relações causais, as causas subjacentes à correlação (se houver) podem ser indiretas e desconhecidas. Por exemplo, a correlação entre idade e altura em crianças é clara. No entanto, a correlação entre humor e saúde nas pessoas é menos óbvia. A afirmação correta é a melhora do humor leva à melhora da saúde, a boa saúde leva ao bom humor ou ambas? Em outras palavras, uma correlação pode ser tomada como evidência de uma possível relação causal, mas não pode indicar qual é a relação causal.

Correlação e linearidade

IO coeficiente de correlação de Pearson indica a força de uma relação linear entre duas variáveis, mas seu valor geralmente não caracteriza completamente sua relação. Em particular, se a média condicional de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y } dado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } , denotado Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E(Y|X) } , não for linear em Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X } , o coeficiente de correlação não determinará completamente Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E(Y|X) } . A imagem ao lado mostra gráficos de dispersão do quarteto de Anscombe, um conjunto de quatro pares diferentes de variáveis ​​criadas por Francis Anscombe. As quatro variáveis Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y } têm a mesma média (7,5), variância (4,12), correlação (0,816) e regressão linearFalhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (y=3+0,5x) } . Entretanto, a distribuição das variáveis é muito diferente. De acordo com os gráficos ao lado, o coeficiente de correlação como uma estatística de resumo não pode substituir a análise visual dos dados. Nota–se que os exemplos às vezes indicam que o coeficiente de correlação de Pearson presume que os dados seguem uma distribuição normal. No entanto, isto não é verdade.

Ver também

• Autocorrelação
• Biometria
• Cópula (estatística)
• Correlação espúria
• Covariância
• Econometria
• Estatística
• Lambda de Goodman e Kruskal
• R²
• Relação cruzada
• Regressão
• Regressão espúria

Leitura adicional

• COHEN, Jacob et al. Applied multiple regression/correlation analysis for the behavioral sciences. Routledge, 2013.
• ZANIBONI, GUSTAVO TADEU et al. Fusao bayesiana de imagens utilizando coeficientes de correlaçao localmente adaptáveis. Anais do IX SBSR. Santos, SP, 1998.

Ligações externas

• Correlation Comparison
• Finding Order in Randomness: Correlation  
• Interpretação do Coeficiente de Correlação
• Interpreting Correlations
• Pearson's Correlation Coefficient
• Understanding Correlation
• Weighted Correlation Matrix
• Correlation (in statistics). A.V. Prokhorov (originator), Encyclopedia of Mathematics.
• Weisstein, Eric W. Correlation Coefficient. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.