Conjunto pré-compacto

Em matemática, um conjunto em um espaço topológico é dito pré-compacto ou totalmente limitado se seu fecho é um conjunto compacto.

Em topologia e em áreas relacionadas da matemática, um conjunto totalmente limitado é um espaço que pode ser coberto por um número finito de subconjuntos de qualquer ``tamanho" pré-fixado (onde o significado de tamanho aqui depende do contexto). Quanto menor o tamanho fixado, mais subconjuntos serão necessários, mas qualquer tamanho específico pré-fixado deve apenas demandar um número finito de subconjuntos. Uma noção relacionada é a de conjunto totalmente limitado, no qual apenas um subconjunto do espaço precisa ser coberto. Todo subconjunto de um espaço totalmente limitado é um conjunto totalmente limitado; porém, mesmo se um espaço não é totalmente limitado, alguns de seus subconjuntos ainda serão.

O termo pré-compacto é, por vezes usado com o mesmo significado, mas 'pré-compacto' é também usado para designar relativamente compactos. Num espaço métrico completo, estes significados coincidem, mas em geral não.

Definição para um Espaço Métrico

Um espaço métrico $(M,d)$ é totalmente limitado se, e somente se, para todo número real $\epsilon >0$ existe um subconjunto finito $F$ de $M$ tal que para cada $m$ em $M$ temos $d(m,F)<\epsilon$. Note que $F$ depende de $\epsilon$.

Todo espaço totalmente limitado é limitado, mas a recíproca não é verdadeira em geral. Por exemplo, um conjunto infinito com a métrica discreta é limitado mas não totalmente limitado.

Se M é um espaço euclidiano e d é a distância euclidiana, então um subconjunto (com a topologia induzida) é totalmente limitado se, e somente se, é limitado.

Definição em Outros Contextos

A forma lógica simbólica geral para a definição é: Um subconjunto S de um espaço X é um conjunto totalmente limitado se, e somente se, dado qualquer tamanho E, existe um número natural n e uma família A₁, A₂, ..., A_n de subconjuntos de X, tal que S está contido na união desta família (em outras palavras, a família é uma cobertura finita de S),e tal que cada conjunto A_i da família é de tamanho E (ou menor). Simbolicamente:

$\forall \;{E}>0,\;\exists \;{n\in \mathbb {N} },\;\exists \;{A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}\subseteq ;X}\left(S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\;{\mbox{ e }}\;\forall {i=1,\ldots ,n}\;\mathrm {tamanho} (A_{i})\leq E\right).\!$

O espaço X é um espaço totalmente limitado se, e somente se é um conjunto totalmente limitado quando considerado como um subconjunto de si próprio.

(Pode-se também definir espaços totalmente limitados diretamente, e então definir um conjunto como totalmente limitado se, e somente se é totalmente limitado quando considerado como um subspaço.)