Fecho

Em topologia, o fecho ou aderência de um subespaço topológico S de X é o menor fechado de X que contém S.

Definição formal

O fecho do conjunto X, denotado por ${\overline {X}}$, é o conjunto formado pelos pontos aderentes a X .

Propriedades

• O fecho de todo conjunto X de números reais (ou seja, $X\subseteq \mathbb {R}$) é um conjunto fechado, isto é, ${\overline {\overline {X}}}={\overline {X}}$. No entanto, há dois casos especiais, em que $X=\mathbb {R}$ ou $X=\varnothing$. Isso porque $\mathbb {R}$ e $\varnothing$ são conjuntos ao mesmo tempo fechados e abertos.
• O fecho de S é a intersecção de todos os fechados que contêm S;
• O fecho de um conjunto X (${\overline {X}}$) é obtido acrescentando-se a X os seus pontos de acumulação, ou seja, é a união de dois conjuntos, X e $X'$ (=conjunto dos pontos aderentes): ${\overline {X}}=X\cup X'$ . Por exemplo, se tomarmos o conjunto aberto $X=\left(0,3\right)$, então seu fecho será o conjunto fechado ${\overline {X}}=X\cup X'=\left[0,3\right]$.

O fecho de S é a união de S com a sua fronteira.

Exemplos

• o fecho do conjunto $\mathbb {Q}$ dos números racionais é a reta $\mathbb {R}$. Também o fecho do conjunto $(\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$ dos números irracionais é $\mathbb {R}$. $\mathbb {Q}$ e $(\mathbb {R} -\mathbb {Q} )$ não são conjuntos fechados .