Comprimento do arco

A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.

Definição precisa

Escolher um finito número de pontos ao longo de uma curva e conectar cada um destes pontos com o próximo com uma linha reta. A soma do comprimento de cada um destes segmentos é o comprimento de um caminho polinomial.

Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.

Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.

Métodos modernos

Considere uma função $f(x)\,$ tal que $f(x)\,$ e $f'(x)\,$ (isto é a derivada em relação a x) são contínuas em [a, b] . O comprimento s de parte do gráfico de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx.$

a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.

Se a curva é definida parametricamente por $x=X(t)\,$ e $y=Y(t)\,$, então o comprimento do arco entre t = a e t = b é

$s=\int _{a}^{b}{\sqrt {[X'(t)]^{2}+[Y'(t)]^{2}}}\,dt.$

Deve-se notar que a definição acima só pode ser considerada rigorosa caso se prove que duas parametrizações distintas geram o mesmo comprimento de arco.

Método vetorial

Seja  $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<...<t_{n}=b$ uma partição equidistante do domínio com $\bigtriangledown t=t_{i}-t_{i-1}$ e $P_{i}={\overrightarrow {r}}(t_{i})$,$i=0,1,...n$ ,  pontos sobre a curva. Uma possível aproximação para o comprimento da curva é dado pelo comprimento da poligonal. Observe que o comprimento do segmento $P_{i-1}P_{i}$  é dado por $||P_{i}-P_{i-1}||$, logo, a aproximação para o comprimento da curva é

$L_{n}=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle ||P_{i}-P_{i-1}||$

$=\textstyle \sum _{i=1}^{n}\displaystyle {\sqrt {(x_{i}-x_{i-1})^{2}+(y_{i}-y_{i-1})^{2}+(z_{i}-z_{i-1})^{2}}}$

${\textstyle =\textstyle \sum _{i=1}^{n}{\sqrt {\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}+\left({\frac {z_{i}-z_{i-1}}{\Delta t}}\right)^{2}}}\Delta t}$

 Naturalmente,  $L=\textstyle \lim _{n\to \infty }\displaystyle Ln$ . Como o lado direito da última igualdade é uma soma de Riemann, temos:

$L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy(t)}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz(t)}{dt}}\right)^{2}}}dt$

$L=\int _{a}^{b}||{\vec {r}}\prime (t)||dt$

                          

     

Logo, o comprimento do arco S quando a parâmetro corre de  a até  t é:

$S(t)=\int _{a}^{b}||{\vec {r}}\prime (\tau )||d\tau ,a\leq t\leq b$

Referências

• Carmo, Manfredo Perdigão do (2010). Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies 4 ed. Rio de Janeiro: SBM. ISBN 978-85-85818-26-5