Exibir código-fonte para Equação de Laplace

[[Ficheiro:AduC 197 Laplace (P.S., marquis de, 1749-1827).JPG|alt=Foto de perfil de Laplace|miniaturadaimagem|Laplace]]
'''Equação de Laplace''', em [[matemática]], é uma [[equação diferencial parcial]] cujo nome honra seu criador, [[Pierre Simon Laplace]]. Trata-se de uma [[Equação elíptica em derivadas parciais|equação diferencial elíptica]] de alta relevância, pois é descritora de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a [[astronomia]], o [[eletromagnetismo]], a [[mecânica dos fluidos]], formulando-lhes as [[função potencial|funções potencial]] gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como [[teoria do potencial]].

== Definição ==
Em um [[conjunto aberto]] <math display="inline">U\subset \mathbb{R}^n</math>, a equação de Laplace é definida por:<ref name=":0" />

<math>\Delta f = 0</math>

onde, <math display="inline"=>\Delta</math> denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

<math>\Delta f := \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2 }</math>

Aqui, a incógnita <math display="inline">f</math> é uma função de <math display="inline">U\subset \mathbb{R}^n</math> em <math display="inline">\mathbb{R}.</math> Uma tal função <math display="inline">f</math> é dita ser [[Função harmônica|harmônica]], se é solução da equação de Laplace e é duas vezes [[Função suave|continuamente diferenciável]], i.e. <math display="inline">\Delta f = 0</math> e <math display="inline">f\in C^2(U,~\mathbb{R})</math>. Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por <math display="inline">\nabla^2</math>. Esta notação é motivada pelo fato de que <math display="inline">\Delta = \nabla \cdot \nabla</math>, onde <math display="inline">\nabla</math> denota o [[gradiente]].

=== Definição em <math display="inline">\mathbb{R}^2</math> ===
Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano <math display="inline">\mathbb{R}^2</math>, a equação de Laplace toma a forma<ref>{{citar livro|título = Análise de Fourier e equações diferenciais parciais|sobrenome = Figueiredo|nome = Djairo|edição = 2|local = |editora = IMPA|ano = 1987|página = |isbn = 8524400269}}</ref> (em [[coordenadas cartesianas]]):

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0</math>

Em [[coordenadas polares]] <math display="inline">(r,~\theta)</math>, a equação torna-se:

<math>\frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 g}{\partial \theta^2} = 0</math>

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis <math display="inline">x = r\text{cos }\theta</math>, <math display="inline">y = r\text{sen }\theta</math> e <math display="inline">g(r,\theta) = f(r\text{cos }\theta , r\text{sen }\theta)</math>.

=== Definição em <math display="inline">\mathbb{R}^3</math> ===
Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais <math display="inline">f</math> duplamente [[diferenciável|diferenciáveis]], de variáveis reais <math display="inline">x</math>, <math display="inline">y</math> e <math display="inline">z</math>, tais que:

- em '''[[coordenadas cartesianas]]'''

: <math>
{\partial^2 f\over \partial x^2 } +
{\partial^2 f\over \partial y^2 } +
{\partial^2 f\over \partial z^2 } = 0.
</math>

- em '''[[coordenadas cilíndricas]]''',

:<math>  {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } =0 
</math>

- em '''[[coordenadas esféricas]]''',

:<math>  {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \varphi} {\partial \over \partial \varphi}
  \left( \sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \varphi} {\partial^2 f \over \partial \theta^2} =0 
</math>

== Solução fundamental ==
A função <math display="inline">\Phi : \mathbb{R}^n-\{0\} \to \mathbb{R}</math> definida por:

<math>\Phi(x) = \left\{ \begin{array}{rr}- \frac{1}{2\pi} \ln |x| &, n=2 \\ \frac{1}{n(n-2)\alpha(n)}\frac{1}{|x|^{n-2}} &, n\geq 3 \end{array}\right.</math>

é chamada de [[solução fundamental]] da equação de Laplace.<ref name=":0">{{citar livro|título = Partial Differential Equations|sobrenome = Evans|nome = Lawrence C.|edição = 2|local = |editora = American Mathematical Society|ano = 2010|página = |isbn = 978-0821849743}}</ref> Aqui, <math display="inline">\alpha(n)</math> denota o [[Bola (matemática)|volume da bola unitária]] em <math display="inline">\mathbb{R}^n</math>. Verifica-se, por substituição direta, que <math display="inline">\Delta \Phi = 0</math> em <math display="inline">\mathbb{R}^n-\{0\}</math>.

== Condições de contorno ==
A equação de Laplace deve ser complementada com [[condição de contorno|condições de contorno]].

=== Problema de Dirichlet ===
{{Artigo principal|Problema de Dirichlet}}

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno <math display="inline">\partial D</math> do domínio <math display="inline">D</math>, esta é denominada [[condição de contorno de Dirichlet]]:
:<math>\begin{array}{rclcl}
\Delta \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}</math>.  

==== Unicidade ====
Como consequência do [[princípio do máximo]] forte para [[Função harmônica|funções harmônicas]], mostra-se que se <math display="inline">D</math> é conexo, <math display="inline">\varphi\in C^2(D)\cap C(\bar{D})</math> e <math display="inline">g\in C(\partial D)</math>  é uma função não-negativa (não-positiva), então <math display="inline">\varphi</math> é não-negativa (não-positiva) em <math display="inline">D</math>.  Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.<ref name=":0" />

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre <math display="inline">D</math>. Para tanto, veja [[Equação_de_Poisson#Condição_de_contorno_de_Dirichlet|condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson]].

==== Representação da Solução ====
Se <math display="inline">u\in C^2(\bar{D})</math> é solução do problema de Dirichlet acima, então:<ref name=":0" />
: <math>
\varphi(x) = - \int_{\partial D} g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu}(x,y)\,dS(y)
</math>
onde, <math display="inline">\nu</math> é a normal unitária exterior a <math display="inline">\partial D</math> e <math display="inline"> \partial G(x,y) / \partial \nu </math> é a derivada normal da função de Green:
:<math>
G(x,y) = \Phi(y-x) - \phi^x(y),\quad\forall x,y\in D,~x\neq y.
</math>
Aqui, <math display="inline">\Phi</math> é a solução fundamental (veja acima) e, para cada <math display="inline">x</math>, <math display="inline">\phi^x = \phi^x(y)</math> é solução de:
:<math>
\begin{array}{rclcl}
\Delta \phi^x &=& 0,\quad & x\in D\\
\phi^x &=& \Phi(y-x),& x\in \partial D
\end{array}
</math>

===== Fórmula de Poisson para a bola =====
A fórmula de representação acima depende da função de Green <math display="inline">G(x,y)</math>. Em alguns casos esta função é conhecida. Se <math display="inline">D = B(0,r) = \{x:~\|x\| < r\}</math>, então:<ref name=":0" />
:<math>
G(x,y) = \frac{r^2 - \|x\|^2}{n\alpha(n)r}\frac{1}{\|x-y\|^n}
</math>
a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola <math display="inline">B(0,r)</math>. De fato, podemos mostrar que se <math display="inline">g\in C(\partial B(0,r))</math>, então:<ref name=":0" />
:<math>
\varphi(x) = - \int_{\partial B(0,r)} g(y)\frac{\partial G(x,y)}{\partial \nu}(x,y)\,dS(y) = - \frac{r^2 - \|x\|^2}{n\alpha(n)r}\int_{\partial B(0,r)} \frac{g(y)}{\|x-y\|^n}dS(y),\quad\forall x\in B(0,r)
</math>
é solução do problema de Dirichlet no sentido que <math display="inline">\Delta \varphi = 0</math> e:
:<math>
\lim_{\begin{array}{cc}x\to y\\ x\in B(0,r)\end{array}} \varphi(x) = g(y),\quad\forall y\in \partial B(0,r).
</math>



=== Problema de Neumann ===
Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno <math display="inline">\partial D</math> do domínio <math display="inline">D</math>, esta é denominada [[condição de contorno de Neumann]]:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:
: <math>\begin{array}{rclcl}
\triangle \varphi &=& 0,\quad & x\in D\\
\frac{\partial}{\partial\eta}\varphi&=&g,& x\in \partial D
\end{array}.</math>
Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio <math display="inline">D</math> e aplicando a primeira [[Identidades de Green|identidade de Green]]:
: <math>0=\int_D 0 dx = \int_D \triangle \varphi dx = \int_{\partial D} \frac{\partial}{\partial\eta} \varphi d S(x)= \int_{\partial D} g d S(x)</math>

{{Referências}}

==Ver também==
*[[Equação de Poisson]]
* [[Função harmônica]]


{{Equações diferenciais}}
{{Esboço-matemática}}

[[Categoria:Análise de Fourier]]
[[Categoria:Equações]]
[[Categoria:Equações diferenciais parciais elípticas]]
[[Categoria:Funções harmônicas]]
[[Categoria:Pierre-Simon Laplace]]