Número inteiro

 Nota: Para tipo de dado, veja inteiro (tipo de dado).

Números Inteiros

Conjuntos de números
$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \cdots$
Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Reais $\mathbb {R}$ Imaginários Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Os números inteiros são constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e todos os números negativos simétricos aos números naturais não nulos (−1, −2, −3,−4 ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z (ou ainda um $\mathbb {Z}$ em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Os números inteiros podem ser simétricos, quando os números têm sinais opostos, ou pode existir também o valor absoluto de um número inteiro, que é a distância entre a origem e o número.

Propriedades algébricas

Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros.

O fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros pode ser expresso matematicamente dizendo-se que (Z, +, *) é um anel comutativo com unidade.

Os inteiros não formam um corpo, já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b ≠ 0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que a = b q - r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r, o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum entre dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo-se que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideais principais e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).

Este é o teorema fundamental da aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

Propriedades relativas à ordem

Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.

A ordem de Z é dada por ... < −2 < +1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Aplicações

Inteiro é frequentemente um tipo primitivo em linguagem de programação, normalmente com 1, 2, 4, ou 8 bytes de comprimento (8, 16, 32, ou 64 bits). Observe, porém, que um computador pode apenas representar um subconjunto dos inteiros com estes tipos, já que os inteiros são infinitos e uma quantidade de bits fixa limita a representação a um máximo de 2 à potência do número de bits ($2^{8}$ para bytes, $2^{32}$ para arquiteturas de 32 bits, etc). No entanto, o uso de técnicas de inteligência artificial permitem que computadores representem e raciocinem sobre o conjunto dos inteiros.

RSA

O RSA é o mais conhecido dos métodos de criptografia de chave pública. Ele foi criado em 1978 por R. L. Rivest, A. Shamir e L. Adleman, que na época trabalhavam no MIT e é o mais usado em aplicações comerciais atualmente. A construção deste sistema é baseada nas propriedades da Teoria dos Números e suas principais características são: simplicidade, chave pública e extrema dificuldade em violar o código.

Ver também

• Wikilivros

• Parte inteira
• Sequência de inteiros
• Inteiro (tipo de dado)

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