Número inteiro

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Os inteiros, ou números inteiros, consistem dos números naturais (0, 1, 2, ...) e dos números interios negativos (-1, -2, -3, ...). O conjunto de todos os inteiros é normalmente chamado de Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, $\mathbb {Z}$), que vem de Zahlen (German para "número").

Inteiros podem ser adicionados ou substitraídos, multiplicados e comparados. A principal razão para a existência dos números negativos é que tornou possível resolver todas as equações da forma:a + x = b para a incógnita x; nos números naturais apenas algumas destas equações eram solúveis.

Matematicos expressão o fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um ring comutativo.

A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z um totally ordered set sem limite superior ou inferior. Nós chamamos um inteiro positivo se ele é maio rque zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:

1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc

Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto countably infinite.

Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.

Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo de Euclides ou Algoritmo Euclideano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser esrito como a soma de multiplos destes dois inteiros.

Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um Domínio Euclideano. isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única, desde que o 1 não seja considerado primo. Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.

O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

Inteiro é frequentemente um tipo de dado primitivo em linguagem de programação normalmente com 4 bytes de comprimento. Integers are often used as an index for an array. Note, however, that a computer can only represent a subset of all mathematical integers, since the entire set of integers is infinite in size and computers are finite machines. Integer datatypes are typically implemented using a fixed number of bits, and even variable-length representations eventually run out of storage space when trying to represent especially large numbers.