Cálculo vetorial

Cálculo vetorial ou cálculo vectorial é uma área da matemática relacionada com a análise real multivariável de vectores em 2 ou mais dimensões. Consiste num conjunto de fórmulas e técnicas para a resolução de problemas, muito útil na engenharia e na física.

Consideremos um campo vectorial, que associa um vector a cada ponto no espaço, e um campo escalar, que associa um escalar a cada ponto no espaço. Por exemplo, a temperatura de uma piscina é um campo escalar: a cada ponto podemos associar um valor escalar para a temperatura. O fluir da água nessa mesma piscina é um campo vectorial: a cada ponto podemos associar um vector velocidade.

História

Os quaternions foram descobertos pelo irlandês William Rowan Hamilton em 1843. Hamilton procurava formas de estender os números complexos (que podem ser vistos como pontos de um plano) a dimensões espaciais mais elevadas. Quaternions são feitos de um vector de três dimensões mais um escalar.

Posteriormente, Oliver Heaviside e Willard Gibbs entre outros, desenvolveram a álgebra vectorial e o cálculo vectorial.

Alguns dos apoiantes de Hamilton opuseram-se fortemente aos desenvolvimentos crescentes da álgebra vectorial e cálculo vectorial, afirmando que os quaternions forneciam uma notação superior. Se bem que isto é discutível em três dimensões, os quaternions não podem ser usados em outras dimensões (apesar de extensões como as dos octonions e álgebra de Clifford poderem ser mais aplicáveis. A notação vectorial substituiu quase universalmente os quaternions na ciência e engenharia por volta dos meados do século XX.

Noções

• Campo -- É uma região do espaço matemático onde há grandezas associadas a seus pontos. Se essas grandezas se mantêm constantes ao longo do tempo dizemos que esse campo é estável; se elas tem a mesma direção em todos os pontos dizemos que o campo é UNIFORME; se elas são iguais em todos os pontos dizemo que o campo é HOMOGÊNEO.

• Escalar -- é o nome que se dá a grandezas reais associadas a pontos do espaço. Não possuem sentido ou direção. Exemplos: massa, temperatura, densidade.

• Vetores -- são objetos ou entes matemáticos constituídos pela associação de um módulo (ou valor absoluto), direção e sentido a cada ponto do espaço. Exemplos: velocidade linear, aceleração, força, velocidade de rotação.

Graficamente, costuma-se representar o vetor por uma seta ligando dois pontos do espaço geométrico, que geralmente são designados como letras maiúsculas entre parentesis; Sendo (O) seu ponto de origem e (P) seu ponto de extremidade, o vetor pode então ser simbolizado pela associação desses dois pontos, ou seja, por (OP) ; seu módulo é por simbolizado por |OP|. Outro simbolismo frequente consiste em designar o vetor por uma letra minúscula sobreposta de uma pequena seta.

• Álgebra vetorial -- É a área da matemática que trata da operações e transformações de vetores; as definições usadas na álgebra numérica são extensíveis à algebra vetorial. As definições fundamentais são:
  1. dois vetores são iguais se tem o mesmo módulo, sentido e direção, mesmo que tenham origem em pontos diferentes. Assim (AB) = (CD) se |AB| = |CD| e ambos tem o mesmo sentido e direção.
  2. dois vetores que tenham o mesmo módulo e direção, porém sentidos opostos são chamados de opostos e podem ser representados com a mesma designação porém uma com o sinal negativo. Exemplo: (AB) = - (BA)
  3. a soma ou resultante de vetores é obtido colocando-se a origem de um na estremidade de outro, independendo da sequencia ou ordem de colocação. Assim a resultamte de [(OA) +( AB) + (CD)] é (OD)
  4. a diferença entre os vetores [(AB) - (CD)] é o vetor (OP) tal que [(OP) + (CD)] = (AB). Define-se como vetor nulo o vetor cujo módulo é igua a zero. O vetor nulo não tem sentido ou direção.
  5. o produto de um escalar m por um vetor (AB) é um vetor de mesma direção de (AB) , módulo igual a [m.|AB|] , mesmo sentido se m > 0 e sentido oposto se m < 0 .

• Leis operacionais -- Para adição de vetores ou multiplicação de vetor por escalar, valem as leis associativas e comutativas, ou seja:
  1. $[(AB)+(CD)]=[(CD)+(AB)]$ - lei comutativa da adição
  2. $(AB)+[(CD)+(EF)]=[(AB)+(CD)]+(EF)$ - lei associativa da adição
  3. $n\cdot (AB)=(AB)\cdot n$
  4. $m\cdot [n\cdot (AB)]=[m\cdot n]\cdot (AB)$ - lei comutativa da multiplicação
  5. $[m+n]\cdot (AB)=m\cdot (AB)+n\cdot (AB)$ - lei distributiva
  6. $m\cdot [(AB)+(CD)]=m\cdot (AB)+m\cdot (CD)$ - lei distributiva

• Produto escalar de dois vetores - É definido como o escalar resultante do produto dos módulos dos vetores e do cosseno do ângulo formado entre eles. Ex. $(AB)\cdot (CD)=|AB|\cdot |CD|\cdot \cos \theta$, sendo $\theta$ o ângulo entre AB e CD.

• Produto vetorial de dois vetores - É definido como um vetor cujo módulo é o resultado do produto dos módulos dos dois vetores multiplicandos e o seno do ângulo que eles formam; sua direção é perpendicular ao plano definido pelos vetores multiplicandos e o sentido é tal que os dois vetores multiplicandos e o resultante cujo módulo, pela ordem, formem um triédro positivo.

Note-se que o módulo do vetor resultante é igual à área do paralelograma construído pelos vetores multipicandos. A lei associativa da multiplicação não se aplica a produtos vetoriais.

• Produtos triplos -- São operações envolvendo simultaneamente produtos escalares e vetorias entre vários vetores, para as quais, em geral, não se aplicam as leis comutativas e associativas.

Ver também

• Teorema de Stokes
• Teorema da Divergência
• Campo escalar
• Campo vetorial
• Integração vetorial
• Igualdades de Green
• Integral de linha
• Integral de superfície
• Gradiente
• Divergente
• Rotacional
• Laplaciano