Equação quadrática

Em Matemática, uma equação do 2º grau ou quadrática é uma equação da forma:

$ax^{2}+bx+c=0\,\!$, onde $a\neq 0\,\!$.

A restrição imposta de ser a diferente de zero é de imediata compreensão: com efeito, se a = 0, a equação em causa deixará de ser do segundo grau, passando a ser tão-somente uma equação do primeiro grau. Também se pode dizer que é restrição necessária pelo fato de o coeficiente a figurar no denominador da fórmula que resolve a equação quadrática, o que, contudo, é fato posterior.

Importa considerar que, em se tratando de equação, deve-se falar em incógnita, não em variável.

Generalidades

Incógnita significa quantidade não conhecida, o que, de fato, é verdadeiro antes da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita aberta, naturalmente antes da solução. Variável, por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, lato sensu), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is).

Equação quadrática chama-se, também, equação do segundo grau e é equação algébrica polinomial de grau dois, sendo-lhe aplicáveis toda a teoria e todas as propriedades das equações polinomiais.

Solução da equação quadrática: A fórmula de Báskara

Equações quadráticas completas resolvem-se por transformar o trinômio do segundo grau num quadrado perfeito de binômio do primeiro grau.

A resolução subseqüente conduz à chamada formula de Báskara, que é a fórmula resolvente:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

Eis, passo a passo, as transformações:

$ax^{2}+bx+c=0\Leftrightarrow$

$(4a)(ax^{2}+bx+c)=(4a)\cdot 0\Leftrightarrow$

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0\Leftrightarrow$

$(2ax)^{2}+2(2ax)b=-4ac\Leftrightarrow$

$(2ax)^{2}+2(2ax)b+b^{2}=-4ac+b^{2}\Leftrightarrow$

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac\Leftrightarrow$

$\left|2ax+b\right|={\sqrt {b^{2}-4ac}}$

Então tem-se por definição de módulo que:

• Se $(2ax+b)>0\,\!$

$2ax+b={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow$

$2ax={\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow$

$x={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

• Se $(2ax+b)<0\,\!$

$-(2ax+b)={\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow$

$2ax+b=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}\Leftrightarrow$

$2ax=-{\sqrt {b^{2}-4ac}}-b\Leftrightarrow$

$x={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\,\!$

Portanto,

$x=\left\{{\begin{matrix}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{1}\\\\{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\rightarrow r_{2}\end{matrix}}\right.\Rightarrow x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

A existirem as duas raízes, $r_{1}\,\!$ e $r_{2}\,\!$ respectivamente, a seguinte equação também é equivalente:

$(x-r_{1})(x-r_{2})=0\,\!$

Propriedades matemáticas

Delta

O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.

$\Delta =b^{2}-4ac\,\!$

Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta }}}{2a}}\,\!$

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se $\Delta >0\,\!$, a equação terá duas raízes reais e distintas.
• Se $\Delta =0\,\!$, a equação terá duas raízes reais e iguais.
• Se $\Delta <0\,\!$, a equação terá duas raízes complexas.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.

Forma (S,P) da equação quadrática

Outra forma de resolver equações é através da soma (S) e produto (P), dada pela fórmula:

center$x^{2}-Sx+P=0\,\!$

onde:

• $r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}}$

e

• $r_{1}.r_{2}={\frac {c}{a}}$

Assim, munido dessas propriedades, podem-se avaliar as raízes em muitos (não em todos...) casos, pela simples inspeção visual e tentativa de composição de dois números que satisfaçam as relações dadas para a soma e para o produto das raízes.