Equação quadrática em uma incógnita é sentença matemática aberta expressa na forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0, com <math> a, b e c <math> pertencentes ao [[conjunto-universo]] adotado, sendo <math>a\ne0\<math>. A restrição imposta de ser <math>a\ne0\<math> é de imediata compreensão: com efeito se ocorrer de ser <math>a = 0<math>, ''a equação em causa '''deixará de ser do segundo grau''', passando a ser tão-somente, equação do primeiro grau''. Também se pode considerar que tal restrição é necessária pelo fato de o coeficiente '''a''' figurar no denominador da '''fórmula que resolve a equação quadrática''', o que, contudo, é fato posterior. Também é útil considerar que, em se tratando de equação, fala-se em '''incógnita''', não em '''variável'''. '''Incógnita''' significa ''quantidade não-conhecida'', o que, de fato, é verdadeiro '''antes''' da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita '''aberta''', naturalmente antes da solução. '''Variável''', por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, ''lato sensu''), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is). '''Equação quadrática''' chama-se, também, '''equação do segundo grau''' e é [[equação polinomial|equação algébrica polinomial]] de grau dois, sendo-lhe aplicáveis toda a teoria e todas as propriedades das equações polinomiais. Na [[Matemática]], as '''equações do 2º grau''' ou '''quadráticas''' se apresentam na forma: <center><math>ax^2 + bx + c = 0\,\!} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\ne0\,\!} .
Fórmula Resolvente
As raízes destas equações podem ser encontradas mediante a aplicação da fórmula resolvente, ou fórmula de Báskara, que é a fórmula obtida ao tentar obter o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} :
Com efeito, podemos ver que esta equação é, de fato, equivalente à inicial:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac}}
Então temos por definição de módulo que:
- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax+b) > 0\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!}- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax+b) < 0\,\!}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow }
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow}
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!}Portanto,
A existirem as duas raízes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2\,\!} respectivamente, a seguinte equação também é equivalente:
Delta
O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.
Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:
De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.
- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta > 0\,\!} , a equação terá duas raízes reais e distintas.
- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta = 0\,\!} , a equação terá duas raízes reais e iguais.
- Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta < 0\,\!} , a equação terá duas raízes complexas.
O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.
Soma e Produto
Outra forma de resolver equações é através da Soma (S) e Produto (P), dada pela fórmula:
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Sx+P=0\,\!}
Onde a soma das raízes equivale a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{b}{a}} e o produto delas corresponde a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c}{a}} . Dessa forma, usamos as tentativas.
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