Sem resumo de edição |
Sem resumo de edição |
||
Linha 2: | Linha 2: | ||
[[Ficheiro:Números hiperreales.png|thumb|300px|Os números hiper-reais.]] | [[Ficheiro:Números hiperreales.png|thumb|300px|Os números hiper-reais.]] | ||
O conjunto dos '''números hiper-reais''' é uma maneira de tratar quantidades [[Infinity|infinitas]] e [[Infinity|infinitesimais]]. Os hiper-reais, ou '''reais | O conjunto dos '''números hiper-reais''' é uma maneira de tratar quantidades [[Infinity|infinitas]] e [[Infinity|infinitesimais]]. Os hiper-reais, ou '''reais não padronizados''', *'''R''', são uma extensão dos [[números reais]] '''R''' que contém números maiores | ||
do que qualquer coisa na forma | do que qualquer coisa na forma | ||
Edição das 15h29min de 14 de março de 2013
Conjuntos de números | |
|
|
O conjunto dos números hiper-reais é uma maneira de tratar quantidades infinitas e infinitesimais. Os hiper-reais, ou reais não padronizados, *R, são uma extensão dos números reais R que contém números maiores do que qualquer coisa na forma
Esse número é infinito, e seu inverso é infinitesimal. O termo "hiper-real" foi introduzido por Edwin Hewitt em 1948.[1]
Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da Lei da Continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R. Desde que para todos os inteiros n, há também um para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.
Preocupações sobre a Correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com Archimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão.[2] Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.
A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna para um infinitesimal , onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.
Veja também
Erro de script: Nenhum módulo desse tipo "Portal".
- Hyperinteger
- Real closed fields
- Non-standard calculus
- Constructive non-standard analysis
- Influence of non-standard analysis
- Surreal number
Referências
Leitura detalhada
- Ball, W.W. Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics, ISBN 0-486-20630-0 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed. , New York: Dover Publications, pp. 50–62
- Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
- Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
- Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Rings of continuous functions, ISBN 978-0-387-90198-5, Berlin, New York: Springer-Verlag
- Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
- Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Infinitesimal Calculus, ISBN 978-0-486-42886-4, New York: Dover Publications
Ligações externas
- Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
- Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
- Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
- Stroyan, A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
Predefinição:Infinitesimal navbox
Aviso: A chave de ordenação padrão "Número Hiper-Real" sobrepõe-se à anterior chave de ordenação padrão "Hyperreal Number".