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Edição das 22h07min de 13 de outubro de 2016
Uma função é uma relação de um conjunto com um conjunto onde cada elemento de se relaciona unicamente com um elemento de Usualmente, denotamos uma tal função por onde é o nome da função, é chamado de conjunto de partida, é chamado de contradomínio e expressa a lei de correspondência (relação) dos elementos com os elementos Conforme suas características, as funções são agrupadas em várias categorias, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras.[1][2][3]
Conceito
As funções são definidas por certas relações. Por causa de sua generalidade, as funções aparecem em muitos contextos matemáticos e muitas áreas da matemática baseiam-se no estudo de funções. Deve-se notar que as palavras "função", "mapeamento", "mapa" e "transformação" são geralmente usadas como termos equivalentes. Além disso pode-se ocasionalmente se referir a funções como "funções bem definidas" ou "funções totais". O conceito de uma função é uma generalização da noção comum de fórmula matemática. As funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois elementos. Intuitivamente, uma função é uma maneira de associar a cada valor do argumento (às vezes denominado variável independente) um único valor da função (também conhecido como variável dependente). Isto pode ser feito através de uma equação, um relacionamento gráfico, diagramas representando os dois conjuntos, uma regra de associação, uma tabela de correspondência, etc.. Muitas vezes, é útil associar cada par de elementos relacionados pela função com um ponto em um espaço adequado (por exemplo, no espaço geometricamente representado no plano cartesiano). Neste caso, a exigência de unicidade da imagem (valor da função) implica um único ponto para cada entrada (valor do argumento).[4][5][3]
Assim como a noção intuitiva de funções não se limita a cálculos usando números individuais, a noção matemática de funções não se limita a cálculos e nem mesmo a situações que envolvam números. De forma geral, uma função liga um domínio (conjunto de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio ou codomínio (conjunto de valores de saída), de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente um elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio para os quais existe pelo menos um no domínio tal que (i.e., se relaciona com ), é o conjunto imagem ou chamado simplesmente de imagem da função.[5]
Definição formal
Sejam dados os conjuntos uma relação e o conjunto dos pares ordenados Dizemos que é uma função se, e somente se, para todos com temos Ou, em outras palavras, para todo existe no máximo um tal que se relaciona com [3] Assim sendo, escrevemos quando se relaciona com por O conjunto é chamado de conjunto de partida e é chamado de contradomínio da função
Outra maneira de dizer isto é afirmar que é uma relação binária entre os dois conjuntos tal que é unívoca, i.e. se e então Algumas vezes, na definição de função, impõe-se todo o elemento do conjunto se relaciona com algum elemento de
Exemplos:
Vejamos as seguintes relações
Esta não é uma função, pois o elemento é associado (se relaciona) com dois elementos a saber com Esta é, entretanto, um exemplo das chamadas funções multivaloradas. | |
Este é um exemplo de uma função dita parcial (função parcial), pois há pelo menos um elemento no conjunto de partida, a saber que não se relaciona com nenhum elemento do contradomínio (conjunto ). | |
Este é um exemplo de uma função dita discreta (veja, função discreta). Sua lei de correspondência pode ser escrita da seguinte forma:
|
Exemplo de aplicação
Podemos usar uma função para modelar o número de indivíduos em uma população de acordo com o tempo (modelos de crescimento demográfico). Por exemplo, denotando o tempo por e o número de indivíduos em um dado tempo por escrevemos Assim, temos abstratamente modelado o número de indivíduos (variável dependente) em função do tempo (variável independente). Aqui, o nome da função foi arbitrariamente escolhido como o conjunto de partida é o conjunto dos números reais não negativos (assumindo que o tempo é contínuo e não negativo) e o contradomínio é o conjunto dos números naturais (assumindo que o número de indivíduos é sempre um número inteiro não negativo).
Elementos de uma função
Da definição, temos que uma função tem um nome, um conjunto de partida, um contradomínio (conjunto de chegada) e uma lei de correspondência. Por exemplo, denotamos onde é o nome da função, é seu conjunto de partida, é seu contradomínio e denota sua lei de correspondência.
Em muitos casos, nem todos os elementos do conjunto de partida se relacionam com algum elemento do contradomínio. Aqueles que se relacionam são elementos do chamado domínio da função. Mais precisamente, o domínio de uma função é o conjunto:
Exemplo
Seja onde o conjunto de partida é dada por e o contradomínio por Pela lei de correspondência, vemos que, neste caso, e Veja a ilustração.
Gráfico de uma função
O gráfico de uma função é o conjunto:
Quando possível, usualmente fazemos uma representação geométrica do gráfico da função. Tal representação é usualmente chamada de esboço do gráfico da função (ou, simplesmente gráfico, quando subentendido).
Popularmente, temos os gráficos de funções de uma variável, para as quais seu esboço é dado pelo conjunto de pontos no plano cartesiano (veja a ilustração). Neste caso, usualmente as variáveis independentes são chamadas de abcissas e marcadas sobre o eixo horizontal (chamado de eixo das abcissas). As variáveis dependentes são chamadas de ordenadas e marcadas sobre o eixo vertical (chamado de eixo das ordenadas).
Classificação quando a imagem
Funções são usualmente classificadas quanto a sua imagem como: funções injetoras, funções sobrejetoras e funções bijetoras. Seja dada a função Por definição, é injetora (ou injetiva) se, e somente se, para todos temos A função é dita sobrejetora (ou sobrejetiva) quando Por fim, uma função injetora e sobrejetora é dita ser bijetora (ou bijetiva). Veja a seguinte tabela.
Tipo de função | Característica da função | Conjunto imagem | Explicação visual | Exemplo | Admite função inversa? É inversível? |
---|---|---|---|---|---|
Injetora ou injetiva | Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando ≠ no domínio tem-se ≠ no contradomínio. | Pode haver elementos do contradomínio que não pertençam à imagem da função. | A função dada por , é injetiva porque números distintos possuem dobros distintos. | Nem sempre, mas sempre admite inversa à esquerda. | |
Sobrejetora ou sobrejetiva | Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. | O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio | A função , é sobrejetiva. | Nem sempre, mas sempre admite inversa à direita. | |
Bijetora ou bijetiva | São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa. | O conjunto imagem é igual ao conjunto contradomínio | A função , é bijetiva. | Sim. |
Funções implícitas e explicitas
Dizemos que uma função é definida de forma explícita (função explícita) quando seus valores podem ser expressados pela variável independente i.e., quando temos uma relação da forma Por outro lado, dizemos que uma tal função é definida de forma implícita (função implícita) quando a relação entre as variáveis dependente e independente é dada como onde denota uma expressão envolvendo e [6]
Exemplo
Seja dada por Isto é, a função que toma dois valores reais e os associa ao produto entre eles. Trata-se de uma função explícita. Agora, a equação define implicitamente a função que associa um número real não negativo ao seu inverso. Ou seja, tal função está, aqui, definida implicitamente por Notamos que neste caso em particular, podemos definir a função de forma explícita, escrevendo
Composição de funções
Dadas uma função e uma função com definimos a função composta de com por Analogamente, quando também podemos definir a função composta de com dada por [3]
Exemplo
Considere as seguintes funções e dada por:
e
Notamos que e, portanto, podemos definir a função composta por:
- ↑ STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002. Página 12.
- ↑ FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003. Página 16.
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 Iezzi, Gelson (1977). Fundamentos de Matemática Elementar: conjuntos e funções. São Paulo: Atual. pp. 73–74A, 179A–180A
- ↑ STEWART, James. Cálculo Vol. I - 4ª edição. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
- ↑ 5,0 5,1 FRANK AYRES, Philip A. Schmidt. Matemática para Ensino Superior - 3ª edição. São Paulo: Editora Artmed, 2003.
- ↑ Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics. Berlin: Springer. 120 páginas