Equação quadrática

Equação quadrática em uma incógnita é sentença matemática aberta expressa na forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0, com <math> a, b e c <math> pertencentes ao [[conjunto-universo]] adotado, sendo <math>a\ne0\<math>. A restrição imposta de ser <math>a\ne0\<math> é de imediata compreensão: com efeito se ocorrer de ser <math>a = 0<math>, ''a equação em causa '''deixará de ser do segundo grau''', passando a ser tão-somente, equação do primeiro grau''. Também se pode considerar que tal restrição é necessária pelo fato de o coeficiente '''a''' figurar no denominador da '''fórmula que resolve a equação quadrática''', o que, contudo, é fato posterior. Também é útil considerar que, em se tratando de equação, fala-se em '''incógnita''', não em '''variável'''. '''Incógnita''' significa ''quantidade não-conhecida'', o que, de fato, é verdadeiro '''antes''' da solução da equação. É, também, por essa razão lógica, que a sentença matemática que descreve a equação é dita '''aberta''', naturalmente antes da solução. '''Variável''', por seu turno, é termo adequado à grandeza figurante numa função (ou relação, ''lato sensu''), pois que aí, de fato ela é tal: variável independente, variável dependente. Uma ou mais, conforme se trate de função ou relação a uma ou mais variável(is). '''Equação quadrática''' chama-se, também, '''equação do segundo grau''' e é [[equação polinomial|equação algébrica polinomial]] de grau dois, sendo-lhe aplicáveis toda a teoria e todas as propriedades das equações polinomiais. Na [[Matemática]], as '''equações do 2º grau''' ou '''quadráticas''' se apresentam na forma: <center><math>ax^2 + bx + c = 0\,\!} , onde Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\ne0\,\!} .

Fórmula Resolvente

As raízes destas equações podem ser encontradas mediante a aplicação da fórmula resolvente, ou fórmula de Báskara, que é a fórmula obtida ao tentar obter o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} :

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\,\!}

Com efeito, podemos ver que esta equação é, de fato, equivalente à inicial:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (4a)(ax^2 + bx + c) = (4a)\cdot 0 \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0 \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax)^2 + 2(2ax)b = -4ac \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax)^2 + 2(2ax)b + b^2 = -4ac + b^2 \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax + b)^2 = b^2 - 4ac\Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left|2ax + b\right| = \sqrt{b^2 - 4ac}}

Então temos por definição de módulo que:

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax+b) > 0\,\!}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax = \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{ -b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!}

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2ax+b) < 0\,\!}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - (2ax + b) = \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax + b = - \sqrt{b^2 - 4ac} \Leftrightarrow }

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2ax = - \sqrt{b^2 - 4ac} - b \Leftrightarrow}

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{ -b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\,\!}

Portanto,

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=\left \{\begin{matrix} \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_1 \\ \\ \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \rightarrow r_2 \end{matrix}\right. \Rightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}

A existirem as duas raízes, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_1\,\!} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r_2\,\!} respectivamente, a seguinte equação também é equivalente:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x-r_1)(x-r_2)=0\,\!}

Delta

O polinômio dentro da raíz da fórmula resolvente é chamado de delta ou discriminante.

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta = b^2-4ac\,\!}

Dessa forma, a fórmula resolvente pode ser escrita na forma:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\,\!}

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta > 0\,\!} , a equação terá duas raízes reais e distintas.

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta = 0\,\!} , a equação terá duas raízes reais e iguais.

• Se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Delta < 0\,\!} , a equação terá duas raízes complexas.

O delta também é usado no estudo do sinal de uma função quadrática.

Soma e Produto

Outra forma de resolver equações é através da Soma (S) e Produto (P), dada pela fórmula:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2-Sx+P=0\,\!}

Onde a soma das raízes equivale a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{b}{a}} e o produto delas corresponde a Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c}{a}} . Dessa forma, usamos as tentativas.

cs:Kvadratická rovnice da:Andengradsligning de:Quadratische Gleichung en:Quadratic equation es:Ecuación de segundo grado fi:Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava fr:Équation du second degré he:משוואה ממעלה שנייה hu:Másodfokú egyenlet id:Persamaan kuadrat io:Quadratala equaciono is:Annars stigs jafna it:Equazione quadratica ja:二次方程式 ka:კვადრატული განტოლება ko:이차 방정식 nl:Vierkantsvergelijking pl:Równanie kwadratowe ru:Квадратное уравнение sk:Kvadratická rovnica sv:Andragradsekvation uk:Квадратне рівняння vi:Phương trình bậc hai zh:一元二次方程