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Edição das 19h23min de 28 de novembro de 2006
Generalidades
Número primo é o número natural não-nulo nem unitário, cujos únicos divisores naturais são o número 1 e o próprio número.
Alerta importante Quando se fala aqui número quer-se dizer número — aquele conceito matemático que se usa exprimir por "a propriedade comum que têm os conjuntos passíveis de correspondência biunívoca", conceito que, entretanto, padece de larga medida de ingenuidade. Entretanto, a bem da simplicidade imediata, prossegue-se assim. Numeral é representação simbólica do número. Novamente, por simplicidade, ao se dizer "número 1", entenda-se estar-se querendo significar, na verdade — e a bem do rigor matemático — "aquela idéia expressa pelo numeral 1".
Por exemplo, o número 2 é primo, pois admite apenas 1 e 2 como seus divisores naturais.
Também o número 3 é primo pois seus únicos divisores naturais são 1 e 3.
Contudo, o número 4 não é primo, pelo fato de admitir como divisores naturais 1, 2 e 4.
Já o número 5 também é primo, como é fácil constatar.
E assim por diante, até o infinito primo, que, naturalmente, é uma indefinição matemática.
Há uma tendência de se confundir número primo com número ímpar. São conceitos inteiramente diversos.
Excetuado o número 2 (primo singular), todos os demais números primos são ímpares. Porém a inversa não é necessariamente verdadeira, vale dizer: nem todo número ímpar é primo. Isso também é de imediata constatação.
O número 2 é, pois, o único número que é par e primo, simultanemante.
Se um número natural é maior que 1 e não é primo, diz-se que ele é composto. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto números primos (chamados fatores primos): este processo chama-se decomposição em fatores primos (fatoração).
Os primeiros números primos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97...
Exemplos de decomposições:
- 4 = 2 × 2
- 6 = 2 × 3
- 8 = 2 × 2 × 2
- 9 = 3 × 3
- 10 = 2 × 5
- 472342734872390487 = 3 × 7 × 827 × 978491 × 27795571
Matemática dos números primos
Teoremas dos números primos
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
- O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
- Dado um número natural , qual é a proporção de números primos entre os números menores que ?
A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido desde a época do matemático grego Euclides. Podemos demonstrar da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos. Seja o número tal que
= onde denota o produtório.
Se é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.
Por outro lado, se é composto, existe um número primo tal que . Mas obviamente .Logo existe um novo número primo.
Há um novo número primo, seja primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro . Temos que, necessariamente, é coprimo de (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, tem, necessariamente, ao menos dois fatores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como . Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a . Ao multiplicar os dois números, temos . Como um de seus fatores tem pelo menos dois fatores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três fatores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente , onde é o logaritmo natural.
Grupos e sequências de números primos
São conhecidos dois grupos de números primos:
do tipo:
- (4n+1) - podem sempre ser escritos na forma ()
e
- (4n-1) - nunca podem ser escritos na forma ()
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo:
31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos
mas
333.333.331 não é: (333.333.331 = 17 x 19.607.843)
Curiosidade: maior número primo
Atualmente o maior número primo encontrado é descoberto pelo time de colaboradores formado pelos doutores Curtis Cooper e Steven Boone no dia 4 de setembro de 2006, num projeto de computação distribuida pela Internet, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo , chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 44 e tem 9.808.358 dígitos.
Ligações externas
- Primos de Mersenne de maneira didática
- Prime curios at the prime pages
- The prime pages -- http://www.utm.edu/research/primes/
- MacTutor history of prime numbers
- The "PRIMES is in P" FAQ
- The first 20,000 primes (through 224737) at Wikisource
- Lista dos maiores números provavelmente primos
- The prime puzzles
- The Prime Project gera um número primo cada vez que a página é acessada
- Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
- Primes from WIMS is an online prime generator.
- Prime Factorization Worksheet generates new questions every time the page is loaded
- Prime Spiral pattern
- 12 digit primes Known 12-digit prime factors of Googolplex - 1
- An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
- Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados
af:Priemgetal ang:Frumtæl ar:عدد أولي be:Просты лік bg:Просто число bn:মৌলিক সংখ্যা ca:Nombre primer cs:Prvočíslo da:Primtal de:Primzahl el:Πρώτος αριθμός en:Prime number eo:Primo es:Número primo et:Algarv eu:Zenbaki lehen fa:اعداد اول fi:Alkuluku fr:Nombre premier gl:Número primo he:מספר ראשוני hr:Prosti broj hu:Prímszámok id:Bilangan prima is:Frumtala it:Numero primo ja:素数 ko:소수 (수론) la:Numerus primus lb:Primzuel lmo:Nümar primm lt:Pirminis skaičius nds:Primtall nl:Priemgetal nn:Primtal no:Primtall pl:Liczby pierwsze ro:Număr prim ru:Простое число scn:Nùmmuru primu simple:Prime number sk:Prvočíslo sl:Praštevilo sr:Прост број sv:Primtal th:จำนวนเฉพาะ tr:Asal sayılar uk:Просте число vi:Số nguyên tố zh:素数 zh-min-nan:Sò͘-sò͘