Matriz de adjacência

Uma matriz de adjacência é uma das formas de se representar um grafo.

Dado um grafo G com n vértices, podemos representá-lo em uma matriz n x n A(G). A definição precisa das entradas da matriz varia de acordo com as propriedades do grafo que se deseja representar, porém de forma geral o valor m_ij guarda informações sobre como os vértices v_i e v_j estão relacionados (isto é, informações sobre a adjacência de v_i e v_j).

Para representar um grafo não direcionado, simples e sem pesos nas arestas, basta que as entradas m_ij da matriz A contenham 1 se v_i e v_j são adjacentes e 0 caso contrário. Se as arestas do grafo tiverem pesos, m_ij pode conter, ao invés de 1 quando houver uma aresta entre v_i e v_j, o peso dessa mesma aresta.

Por exemplo, a matriz de adjacência do grafo ao lado é

$A={\begin{bmatrix}1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&0&0\\0&0&1&0&1&1\\1&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\\end{bmatrix}}$

Em grafos não direcionados, as matrizes de adjacência são simétricas ao longo da diagonal principal - isto é, a entrada m_ij é igual à entrada m_ji. Matrizes de adjacência de grafos direcionados, no entanto, não são assim. Num digrafo sem pesos, a entrada m_ij da matriz é 1 se há um arco de v_i para v_j e 0 caso contrário.

Um resultado interessante ocorre quando consideramos a potência k da matriz de adjacência, ou seja, o produto

${{A^{k}=} \atop {\ }}{{\underbrace {A\times \cdots \times A} } \atop k}.$

Se A é a matriz de adjacência de um grafo G com conjunto de vértices dado por V(G)={v₁, v₂, ..., v_n}, então a entrada (i,j) de A^k, com k ≥ 1, corresponde ao número de caminhos (distintos) de comprimento k ligando o vértice v_i ao vértice v_j.

Ver também

• Teoria dos grafos
• Matriz de incidência
• Lista de adjacência