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O conjunto dos '''números hiper-reais''' é uma maneira de tratar quantidades [[ | O conjunto dos '''números hiper-reais''' é uma maneira de tratar quantidades [[Infinito|infinitas]] e infinitesimais. Os hiper-reais, ou '''reais não padronizados''', *'''R''', são uma extensão dos [[números reais]] '''R''' que contém números maiores | ||
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Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do [[cálculo infinitesimal]].{{carece de fontes|data=abril de 2017}} | |||
Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, <math>y = t^2\,</math> pode ser calculada através da razão <math>\Delta y / \Delta t\,</math> para um valor de <math>\Delta t\,</math> que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é <math>v = \frac { \Delta y } {\Delta t} = 2 t_0 + \Delta t\,</math>, que difere do resultado esperado <math>2 t_0\,</math> pela quantidade pequena, porém não nula, <math>\Delta t\,</math>. Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.<ref name="keisler.p.23">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.23 [https://www.math.wisc.edu/~keisler/chapter_1b.pdf <nowiki>[pdf]</nowiki>]</ref> | |||
O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de [[infinitesimal]], <math>\epsilon\,</math> que satisfaz <math>-a < \epsilon < a\,</math> para todo número real ''a > 0''. O único número real que é infinitesimal é o [[zero]],<ref group="Nota">Alguns autores requerem de um infinitesimal que seja não-nulo, ou que seja positivo.</ref> O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.<ref name="keisler.p.24">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.24</ref> | |||
== | Dois números reais ''a'' e ''b'' estão infinitamente próximos quando sua diferença ''a - b'' for um infinitesimal. Se <math>\epsilon > 0\,</math> for um número infinitesimal, então seu inverso <math>1 / \epsilon\,</math> é um número infinito positivo, e <math>- 1 / \epsilon\,</math> infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos.<ref name="keisler.p.24" /> Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.<ref name="keisler.p.25">[[H. Jerome Keisler]], ''Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin'', ''Real and Hyperreal Numbers'', ''Chapter 1'', ''1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line'' p.25</ref> | ||
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A definição da derivada <ref group="Nota">O texto de Keisler, que usa uma abordagem geométrica, fala da inclinação da curva</ref> pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de <math>\frac { \Delta y } {\Delta x}\,</math><ref name="keisler.p.25" /> | |||
Por exemplo, para <math>y = x^2\,</math>, o resultado é <math>2 x_0 + \Delta x\,</math>, e, como <math>\Delta x\,</math> é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de <math>2 x_0 + \Delta x\,</math> é <math>2 x_0\,</math><ref name="keisler.p.25" /> | |||
== Princípio da transferência == | |||
Os números hiper-reais satisfazem o [[princípio da transferência]], uma versão rigorosa da [[lei da continuidade|Lei da Continuidade]] heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de [[Lógica de primeira ordem|primeira ordem]] sobre '''R''' também são válidas no *'''R'''. Por exemplo, a lei comutativa da adição, ''x'' + ''y'' = ''y'' + ''x'', vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que '''R''' seja um [[real closed field|campo real fechado]], então é *'''R'''. Desde que <math>\sin{\pi n}=0</math> para todos os inteiros ''n'', há também um <math>\sin{\pi H}=0</math> para todos [[hipper-inteiro|hiper-inteiros]] ''H''. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do [[Łoś' theorem|Teorema de Łoś']] de 1955. | |||
Preocupações sobre a [[Correção]] de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com [[Archimedes]] trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o [[método da exaustão]].<ref>Ball, p. 31</ref> Nos anos de 1960, [[Abraham Robinson]] provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou. | |||
A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de [[análise matemática|análises matemáticas]] são chamados de [[Análise não padronizada|análises não padronizadas]]. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada de''f(x)'' se torna <math>f'(x) = {\rm st}\left( \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right)</math> para um infinitesimal <math>\Delta x</math>, onde ''st(·)'' denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada. | |||
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==Leitura detalhada== | ==Leitura detalhada== | ||
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* Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", [[American Mathematical Monthly]] 89: | *Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", [[American Mathematical Monthly]] 89: 362–370. | ||
* Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99. | *Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99. | ||
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*Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. | *Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. | ||
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==Ligações externas== | ==Ligações externas== | ||
* Crowell, ''[http://www.lightandmatter.com/calc/ Calculus]''. A text using infinitesimals. | *Crowell, ''[http://www.lightandmatter.com/calc/ Calculus]''. A text using infinitesimals. | ||
* Hermoso, ''[http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html Nonstandard Analysis and the Hyperreals]''. A gentle introduction. | *Hermoso, ''[http://mathforum.org/dr.math/faq/analysis_hyperreals.html Nonstandard Analysis and the Hyperreals]''. A gentle introduction. | ||
* Keisler, ''[http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals]''. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license | *Keisler, ''[http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals]''. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license | ||
* Stroyan, ''[http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus] | *Stroyan, ''[https://web.archive.org/web/20050911104158/http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus] | ||
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Conjuntos de números | |
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O conjunto dos números hiper-reais é uma maneira de tratar quantidades infinitas e infinitesimais. Os hiper-reais, ou reais não padronizados, *R, são uma extensão dos números reais R que contém números maiores do que qualquer coisa na forma
Esse número é infinito, e seu inverso é infinitesimal. O termo "hiper-real" foi introduzido por Edwin Hewitt em 1948.[1]
Abordagem intuitiva
Os números hiper-reais foram introduzidos para dar rigor matemático a uma abordagem intuitiva do cálculo infinitesimal.[carece de fontes]
Pelo cálculo infinitesimal, a velocidade de uma partícula movendo-se de acordo com uma equação da forma, por exemplo, pode ser calculada através da razão para um valor de que seja muito pequeno, porém maior que zero. O resultado desta conta é , que difere do resultado esperado pela quantidade pequena, porém não nula, . Se esta quantidade for desprezada, chega-se ao resultado desejado.[2]
O problema com este raciocínio é que não é claro o que pode ser desprezado. Então, introduze-se um novo tipo de número, chamado de infinitesimal, que satisfaz para todo número real a > 0. O único número real que é infinitesimal é o zero,[Nota 1] O sistema de números que inclui os números reais e os infinitesimais é chamado de conjunto dos números hiper-reais.[3]
Dois números reais a e b estão infinitamente próximos quando sua diferença a - b for um infinitesimal. Se for um número infinitesimal, então seu inverso é um número infinito positivo, e infinito negativo. Os números hiper-reais que não são infinitos são chamados de números finitos.[3] Os números hiper-reais podem ser manipulados algebricamente da mesma forma que os números reais.[4]
A definição da derivada [Nota 2] pode então ser dada como sendo o número real que está infinitamente próximo de [4]
Por exemplo, para , o resultado é , e, como é um infinitesimal, o (único) número real que está infinitamente próximo de é [4]
Princípio da transferência
Os números hiper-reais satisfazem o princípio da transferência, uma versão rigorosa da Lei da Continuidade heurística de Leibniz. O princípio da transferência afirma que as verdadeiras declarações de primeira ordem sobre R também são válidas no *R. Por exemplo, a lei comutativa da adição, x + y = y + x, vale do mesmo modo para os hiper-reais e para os reais; desde que R seja um campo real fechado, então é *R. Desde que para todos os inteiros n, há também um para todos hiper-inteiros H. O princípio da transferência para ultrapotências é uma consequência do Teorema de Łoś' de 1955.
Preocupações sobre a Correção de argumentos envolvendo números infinitesimais remonta a antiga matemática Grega, com Archimedes trocando essas provas com as que usavam outras técnicas como o método da exaustão.[5] Nos anos de 1960, Abraham Robinson provou que hiper-reais eram logicamente consistentes se e somente se os reais fossem. Isso amenizou o medo de que qualquer prova envolvendo infinitesimais pudesse ser defeituosa, fornecendo que elas eram manipuladas de acordo com as regras de lógica as quais Robinson delineou.
A aplicação dos números hiper-reais e, em particular, o princípio da transferência para problemas de análises matemáticas são chamados de análises não padronizadas. Uma aplicação imediata é a definição dos conceitos básicos de análises como derivação e integração de forma direta, sem passar por complicações lógicas de múltiplos quantificadores. Portanto, a derivada def(x) se torna para um infinitesimal , onde st(·) denota um função padrão, que associa a todo hiper-real finito um único real infinitamente perto dele. Similarmente, a integral é definida como parte padrão da soma infinita adequada.
Ver também
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- Hyperinteger
- Real closed fields
- Non-standard calculus
- Constructive non-standard analysis
- Influence of non-standard analysis
- Número surreal
Predefinição:Notas e referências
Leitura detalhada
- Ball, W.W. Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics, ISBN 0-486-20630-0 4th ed. [Reprint. Original publication: London: Macmillan & Co., 1908] ed. , New York: Dover Publications, pp. 50–62
- Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
- Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
- Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), Rings of continuous functions, ISBN 978-0-387-90198-5, Berlin, New York: Springer-Verlag
- Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
- Kleinberg, Eugene M.; Henle, James M. (2003), Infinitesimal Calculus, ISBN 978-0-486-42886-4, New York: Dover Publications
Ligações externas
- Crowell, Calculus. A text using infinitesimals.
- Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
- Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
- Stroyan, A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus
Predefinição:Números
Predefinição:Infinitesimais
- ↑ Hewitt (1948), p. 74, como reportado em Keisler (1994)
- ↑ H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.23 [pdf]
- ↑ 3,0 3,1 H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.24
- ↑ 4,0 4,1 4,2 H. Jerome Keisler, Vilas Professor of Mathematics Emeritus University of Wisconsin, Real and Hyperreal Numbers, Chapter 1, 1.4 Slope and Velocity: The Hyperreal Line p.25
- ↑ Ball, p. 31
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