Exibir código-fonte para Lista de métodos Runge-Kutta

[[Método de Runge-Kutta|Métodos de Runge–Kutta]] são métodos para a solução numérica de [[equação diferencial ordinária|equações diferenciais ordinárias]]

:<math>\frac{d y}{d t} = f(t, y)\,</math>

tomando a forma

:<math>y_{n+1} = y_n + h \sum_{i=1}^s b_i k_i\,</math>

:<math>k_i = f\left(t_n + c_i h, y_n + h \sum_{j = 1}^s a_{ij} k_j\right).</math>

Cada um dos métodos listados nesta página são definidos por sua ''matriz de Butcher'', que mostram os coeficientes do método em uma tabela como segue:

:<math>
\begin{array}{c|cccc}
c_1    & a_{11} & a_{12}& \dots & a_{1s}\\
c_2    & a_{21} & a_{22}& \dots & a_{2s}\\
\vdots & \vdots & \vdots& \ddots& \vdots\\
c_s    & a_{s1} & a_{s2}& \dots & a_{ss} \\
\hline
       & b_1    & b_2   & \dots & b_s\\
\end{array}
</math>

==Métodos explícitos==

Os métodos explícitos são aqueles onde a matriz <math>[a_{ij}]</math> é [[Matriz triangular|triangular]] inferior.


===Euler direto===

Este método é de primeira ordem. A falta de estabilidade e precisão o tornam popular principalmente como uma simples primeira introdução a solução numérica.

:<math>
\begin{array}{c|c}
0 & 0 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>

===Método de Kutta de terceira ordem===

:<math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 1/2 & 0   & 0    \\
1   & -1  & 2   & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math> {{carece de fontes|date=Outubro de 2007}}

===Método clássico de quarta ordem===
O método Runge–Kutta "original".

:<math>
\begin{array}{c|cccc}
0   & 0   & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 1/2 & 0   & 0   & 0\\
1/2 & 0   & 1/2 & 0   & 0\\
1   & 0   & 0   & 1   & 0\\
\hline
    & 1/6 & 1/3 & 1/3 & 1/6\\
\end{array}
</math>

==Métodos implícitos==

===Euler reverso===

Este método é de primeira ordem. Incondicionalmente estável e não oscilatório para problemas de [[difusão linear]];


:<math>
\begin{array}{c|c}
1 & 1 \\
\hline
  & 1 \\
\end{array}
</math>

===Métodos de Lobatto===

Há três famílias de métodos de Lobatto, chamadas IIIA, IIIB and IIIC. Todos são métodos implícitos tendo ordem <math>2 s - 2</math> e todos eles tendo <math>c_1=0</math> e <math>c_s=1</math>. Ao contrário de qualquer método explícito, é possível para esses métodos ter uma ordem maior que o número de estágios. Lobatto viveu antes do método clássico de quarta ordem ser popularizado por Runge e Kutta.

==== Método de Lobatto IIIA ====

Os Métodos de Lobatto IIIA são [[método de colocação|métodos de colocação]]. O método de segunda ordem é praticamente análogo ao [[método de Crank–Nicolson]].

:<math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 0   & 0  \\
1   & 1/2 & 1/2\\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
\end{array}
</math>

O método de quarta ordem é dado por

:<math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 0   & 0   & 0    \\
1/2 & 5/24& 1/3 & -1/24\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>

==== Método de Lobatto IIIB ====
Os métodos de Lobatto IIIB não são de colocação, mas eles podem ser vistos como [[métodos de colocação descontínuos]]
O método de segunda ordem é dado por

:<math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & 0  \\
1   & 1/2 & 0  \\
\hline
    & 1/2 & 1/2\\
\end{array}
</math>

O método de quarta ordem é dado por

:<math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/6& 0    \\
1/2 & 1/6 & 1/3 & 0    \\
1   & 1/6 & 5/6 & 0    \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>

==== Métodos de Lobatto IIIC ====
Os métodos de Lobatto IIIC também são métodos de colocação descontínuos. O método de segunda ordem é dado por:

:<math>
\begin{array}{c|cc}
0   & 1/2 & -1/2\\
1   & 1/2 & 1/2 \\
\hline
    & 1/2 & 1/2 \\
\end{array}
</math>

O método de quarta ordem é dado por 

:<math>
\begin{array}{c|ccc}
0   & 1/6 & -1/3& 1/6  \\
1/2 & 1/6 & 5/12& -1/12\\
1   & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\hline
    & 1/6 & 2/3 & 1/6  \\
\end{array}
</math>

== Referências ==
* Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), [http://www.springer.com/math/analysis/book/978-3-540-56670-0 Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems], Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0
* Hairer, Ernst & Wanner, Gerhard (1996). [http://www.springer.com/math/cse/book/978-3-540-60452-5 Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems]. Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-60452-5 .
* Hairer, Ernst; Lubich, Christian & Wanner, Gerhard (2006). [http://www.springer.com/math/cse/book/978-3-540-30663-4 Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations]. (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-30663-4.

{{esboço-matemática}}

[[Categoria:Equações diferenciais numéricas]]
[[Categoria:Listas de matemática|Runge Kutta]]