Tabela-verdade

Tabela-verdade, tabela de verdade ou tabela veritativa é um tipo de tabela matemática usada em lógica para determinar se uma fórmula é válida ou se um sequente é correto.

As tabelas da verdade derivam do trabalho de Gottlob Frege, Charles Peirce e outros nomes da década de 1880, e tomaram a forma atual em 1922 através dos trabalhos de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. A publicação do Tractatus Logico-Philosophicus, de Wittgenstein, utilizava as mesmas para classificar funções veritativas em uma série. A vasta influência de seu trabalho levou, então, à difusão do uso de tabelas da verdade.

Como construir uma tabela-verdade

Uma tabela-verdade consiste em:

1. uma linha em que estão contidos todas as subfórmulas de uma fórmula. Por exemplo, a fórmula ¬((A∧B)→C) tem o seguinte conjunto de subfórmulas:
   { ¬((A∧B)→C) , (A∧B)→C , A∧B , A , B , C}
2. L linhas em que estão todos possíveis valores que os termos podem receber e os valores cujas fórmulas moleculares tem dados os valores destes termos;
   o número destas linhas é L = n^t , sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do cálculo proposicional clássico) e t o número de termos que a fórmula contém; assim, se uma fórmula contém 2 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos termos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos termos são falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 termos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos termos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois termos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos termos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos termos são falsos (F F F).

Para proposições com mais de três termos, basta seguir o mesmo raciocínio apresentado nas imagens acima.

Tabelas das principais operações do cálculo proposicional

Negação (~)

A	~A
V	F
F	V

A negação da proposição "A" é a proposição "~A", de maneira que se "A" é verdade então "~A" é falsa, e vice-versa.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =NÃO(C1;C2)

Conjunção (∧)

A	B	A ∧ B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

A conjunção é verdadeira se e somente se ambos os operandos são verdadeiros.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =E(C1;C2)

Disjunção (v)

A	B	AvB
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A disjunção é falsa se, e somente se ambos os operandos forem falsos.

Obs.: Usando o Excel, tal proposição pode ser expressado da seguinte maneira: =OU(C1;C2)

Disfunção (f)

A	B	AfB
V	V	F
V	F	F
F	V	F
F	F	F

A disfunção é necessariamente falsa, independente dos operandos.

Condicional (se... então) [implicação]

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

A condicional é falsa se, e somente se, o primeiro operando é verdadeiro e o segundo operando é falso.

Bicondicional (se e somente se) [equivalência]

A	B	A↔B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

A bicondicional é verdadeira se, e somente se, ambos operandos forem falsos ou ambos verdadeiros. Trata-se de um detetor de igualdade.

Disjunção exclusiva (OU EXCLUSIVO... ou XOR)

A	B	A∨B
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

A disjunção exclusiva é verdadeira se, e somente se, apenas um dos operandos for verdadeiro. Trata-se de um detetor de desigualdades.

Adaga de Quine (NOR)

A	B	A∨B	A↓B
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

A Adaga de Quine (negação da disjunção) é verdadeira se e somente se os operandos são falsos.

Como usar tabelas para verificar a validade de argumentos

Verifique se a conclusão nunca é falsa quando as premissas são verdadeiras. Em caso positivo, o argumento é válido. Em caso negativo, é inválido.

Alguns argumentos válidos

• Modus ponens

$\left\{A\to B\ ,A\right\}\vDash B$

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Modus tollens

$\left\{A\to B\ ,\neg B\right\}\vDash \neg A$

A	B	¬A	¬B	A→B
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

• Silogismo hipotético

$\left\{A\to B,B\to C\right\}\vDash A\to C$

A	B	C	A→B	B→C	A→C
V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F
V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F
F	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V

Algumas falácias

• Afirmação do consequente

Se A, então B. (A→B)

B.

Logo, A.

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Comutação dos condicionais

A implica B. (A→B)

Logo, B implica A. (B→A)

A	B	A→B	B→A
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	V	F
F	F	V	V

Como usar tabelas para verificar a equivalência de fórmulas

(A∧B) ≡ ¬(B→¬A) ≡ ¬(¬A∨¬B) ≡ (¬A↓¬B)

A	B	¬A	¬B	A∧B	B→¬A	¬(B→¬A)	(¬A↓¬B)
V	V	F	F	V	F	V	F
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	F	V	F	F
F	F	V	V	F	V	F	F

(A→B) ≡ ¬(A∧¬B) ≡ (¬A∨B) ≡ ¬(¬A↓B)

A	B	¬A	¬B	A→B	A∧¬B	¬(A∧¬B)	¬A∨B
V	V	F	F	V	F	V	V
V	F	F	V	F	V	F	F
F	V	V	F	V	F	V	V
F	F	V	V	V	F	V	V

(A∨B) ≡ ¬(¬A∧¬B) ≡ (¬A→B) ≡ ¬(A↓B)

A	B	¬A	¬B	¬A∧¬B	¬(¬A∧¬B)	¬A→B	¬(A↓B)
V	V	F	F	F	V	V	V
V	F	F	V	F	V	V	V
F	V	V	F	F	V	V	V
F	F	V	V	V	F	F	F

Ver também

• Álgebra booleana
• Lógica
• NOR
• NAND
• XOR

Ligações externas

• Karma: software acadêmico para visualização e solução de mapas de Karnaugh de 2 até 8 variáveis. Inclui tabelas verdade e outras ferramentas de síntese lógica. LogiCS, UFRGS.