Trapézio (geometria)

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Predefinição:Info/Polígono Na geometria o trapézio é um quadrilátero com dois lados paralelos entre si, que são chamados de base maior e base menor.

Definição

A definição mais aceita para um trapézio é a seguinte:

Um quadrilátero plano convexo é um trapézio se, e somente se, possui dois lados paralelos.

$ABCD\quad {\text{é trapézio }}\qquad \Longleftrightarrow \qquad \left({\overline {AB}}//{\overline {CD}}\quad {\text{ou}}\quad {\overline {AD}}//{\overline {BC}}\right)$

Alguns autores definem um trapézio como sendo um quadrilátero que possui exatamente um par de lados paralelos, excluindo portanto os paralelogramos, porém essa definição não é a mais rigorosa existente, pois ela faria com que conceitos tais como o da aproximação trapezoidal para a integral definida fossem mal definidos. Para tanto, admite-se a definição vista acima.

Propriedades dos trapézios

Os trapézios possuem as seguintes propriedades:

1. Em qualquer trapézio $ABCD$ de bases ${\overline {AB}}$ e ${\overline {CD}}$ temos que ${\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }$.
2. Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.
3. As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Demonstração das propriedades

1º Propriedade

Em qualquer trapézio $ABCD$ de bases ${\overline {AB}}$ e ${\overline {CD}}$ temos que ${\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }$

${\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }$

${\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {CD}}$${\displaystyle }$, ${\overleftrightarrow {AD}}$ é transversal $\Longrightarrow {\hat {A}}+{\hat {D}}=180^{\circ }$

e

${\overleftrightarrow {AB}}//{\overleftrightarrow {CD}}$${\displaystyle }$, ${\overleftrightarrow {BC}}$ é transversal $\Longrightarrow {\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }$

Logo temos que

${\hat {A}}+{\hat {D}}={\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }$

${\hat {D}}\equiv {\hat {C}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {B}}$

2° Propriedade

Os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiro, enunciá-la matematicamente.

${\overline {AB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {CD}}\quad {\text{são bases do trapézio isósceles }}ABCD\qquad \Longrightarrow \qquad ({\hat {C}}\equiv {\hat {D}}\quad {\text{e}}\quad {\hat {A}}\equiv {\hat {B}})$

Tomando dois pontos $A'$ e $B'$, de modo que ambos estejam em ${\overline {DC}}$ e que ${\overline {AA'}}\perp {\overline {DC}}$ e ${\overline {BB'}}\perp {\overline {DC}}$.

Como $ABCD$ é um trapézio nós sabemos que ${\overline {AB}}//{\overline {CD}}$, o que implica que ${\overline {AA'}}\equiv {\overline {BB'}}$, por serem distâncias entre retas paralelas.

Se observarmos os triângulos $AA'D$ e $BB'C$, podemos ver que eles são congruentes:

${\overline {AA'}}\equiv {\overline {BB'}}\quad {\text{e}}\quad {{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}\quad (CH)\qquad \Longrightarrow \qquad {\triangle {AA'D}\equiv \triangle {BB'C}}$

Como os triângulos são congruentes, temos que ${\hat {C}}\equiv {\hat {D}}$.

Por fim, visto que ${\hat {A}}$ e ${\hat {B}}$ são suplementares de ${\hat {D}}$ e ${\hat {C}}$, respectivamente (por conta da propriedade demonstrada anteriormente), temos: ${\hat {A}}\equiv {\hat {B}}$.

Logo os ângulos de cada base de um trapézio isósceles são congruentes.

3º Propriedade

${\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}$

As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Para demonstrar essa propriedade vamos, primeiramente, enunciá-la matematicamente.

$ABCD\quad {\text{é um trapézio isósceles de base }}\quad {\overline {AB}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {CD}},\quad {{\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}}\qquad \Longrightarrow \qquad {{\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}}$

Observe os triângulos $ADC$ e $BCD$, que são congruentes:

${\overline {AD}}\equiv {\overline {BC}}\quad {\text{e}}\quad {{\hat {D}}\equiv {\hat {C}}}\quad {\text{e}}\quad {\overline {DC}}={\overline {CD}}\quad (LAL)\qquad \Longrightarrow \qquad \triangle {ADC}\equiv \triangle {BCD}$

Sabendo que os triângulos são congruentes temos: ${\overline {AC}}\equiv {\overline {BD}}$

Logo as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Cálculo da área

Um trapézio.

A área A de um trapézio simples (isto é, sem auto-interseções) é dada por

$A={\frac {(B+b)}{2}}\cdot h,$

em que B e b são os comprimentos dos lados paralelos (as bases maior e menor) e h é a altura (a distância entre esses lados). Em 499 EC Aryabhata, um grande matemático-astrônomo da era clássica da matemática e física indiana, usou este método no Ariabatiia (seção 2.8). A fórmula anterior tem como caso particular a fórmula que fornece a área de um triângulo, considerando-se um triângulo como um trapézio degenerado em que um dos lados paralelos foi reduzido a um único ponto.

A mediana do trapézio é o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos. O seu comprimento m é igual à média dos comprimentos das bases do trapézio:

$m={\frac {B+b}{2}}.$

Consequentemente, a área do trapézio é calculada pela multiplicação de sua mediana por sua altura:

$A=mh.$

O lado de um trapézio retângulo pode ser calculado pela formula:

$L={\sqrt {h^{2}+(B-b)^{2}}}.$