Teste da razão

Em Matemática, o teste da razão ou critério d'Alembert é um teste para saber a convergência ou não de uma série.

Seja $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ uma série de termos positivos.

Fazendo-se $\lim _{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|=L$

Se

• $L<1\!$, a série é absolutamente convergente (portanto convergente);
• $L>1\!$ ou $L=\infty \!$ ou $\!L=1^{+}\!$, a série é divergente;
• $L=1^{-}\!$, o teste é inconclusivo.

Exemplo

Seja: $a_{n}={\frac {n+1}{n!}}$

Clasificar $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

a) $a_{n}={\frac {n+1}{n!}}>0$

b) ${\frac {n+1}{n!}}$ tende para zero quando $n$ tende para infinito, pois $n!$ cresce muito mais rapidamente que $n$.

c) Aplicando o critério D'Alembert:

$L=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=$ $=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0$

e como $L<1$, a série $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ converge.