Teorema de Hilbert-Schmidt

Em matemática, sobretudo na análise funcional o teorema de Hilbert-Schmidt é um teorema central na caracterização de operadores lineares compactos auto-adjuntos em espaços de Hilbert.

Enunciado

Seja $A:H\to H\,$ um operador compacto auto-adjunto em um espaço de Hilbert $H\,$. Então, existe um base ortogonal completa $\{\phi _{n}\}_{n=1}^{N}\,$ tal que $A\phi _{n}=\lambda _{n}\phi _{n}\,$ e $\lambda _{n}\to 0\,$. Onde $N\,$ é dimensão do espaço (podendo ser finita ou infinita).

Forma canônica

Em função deste teorema, podemos escrever a forma canônica do operador como:

$Ax=\sum _{n=1}^{N}\lambda _{n}\langle x,\phi _{n}\rangle \phi _{n}\,$