Em álgebra, o teorema das raízes racionais (ou teste das raízes racionais, teorema dos zeros racionais, teste dos zeros racionais ou teorema p/q) estabelece uma condição sobre as soluções racionais de uma equação polinomial
O teorema estabelece que se a0 e an são diferentes de zero, então, cada solução racional x, quando escrita como uma fração irredutível x = p/q (isto é, em que o máximo divisor comum de p e q é 1), satisfaz
- p é um fator inteiro do termo constante a0, e
- q é um fator inteiro do coeficiente líder an.
O teorema das raízes racionais é um caso especial (para um único fator linear) do lema de Gauss sobre a fatoração de polinômios. O teorema das raízes inteiras é um caso especial do teorema das raízes racionais se o coeficiente líder an = 1.
Aplicação
O teorema é usado para determinar se um polinômio tem alguma raiz racional e, em caso afirmativo, encontrá-las. Uma vez que o teorema impõe que o numerador e o denominador de raízes racionais irredutíveis sejam divisores de certos números, todas as combinações possíveis de divisores podem ser verificadas e as raízes racionais serão encontradas, ou será determinado que não existem raízes racionais. Se uma ou mais forem encontradas, elas podem ser fatoradas do polinômio, resultando em um polinômio de menor grau cujas raízes também são raízes do polinômio original.
Equação cúbica
A equação cúbica geral
Demonstrações
Primeira demonstração
Seja
Se ambos os membros forem multiplicados por , o termo constante for movido para o lado direito, e for colocado em evidência um fator do lado esquerdo, obtém-se
Observa-se que divide . Mas e são primos entre si e portanto e também são, então pelo lema de Euclides (em sua forma generalizada) ele deve dividir o fator restante do produto.
Se em vez disso o termo líder for movido para a direita e for colocado em evidência um fator q no lado esquerdo, obtém-se
Demonstração usando o lema de Gauss
No caso de existir um fator não-trivial dividindo todos os coeficientes do polinômio, pode-se dividi-lo pelo maior divisor comum dos coeficientes, de modo a obter um polinômio primitivo no sentido do lema de Gauss; isto não altera o conjunto das raízes racionais e só reforça as condições de divisibilidade. Aquele lema diz que se o polinômio é fatorável em Predefinição:Math então ele também é fatorável em Predefinição:Math como um produto de polinômios primitivos. Agora, qualquer raiz racional Predefinição:Math corresponde a um fator de grau 1 em Predefinição:Math do polinômio, e o seu representante primitivo é Predefinição:Math, supondo que p e q são primos entre si. Mas qualquer múltiplo de qx − p em Predefinição:Math tem o termo líder divisível por q e o termo constante divisível por p, o que comprova a afirmação. Este argumento mostra que, mais geralmente, pode ser suposto que qualquer fator irredutível de P tem coeficientes inteiros, e os coeficientes líder e constante dividindo os coeficientes correspondentes de P.
Exemplos
Primeiro
No polinômio
Segundo
No polinômio
Terceira
Todas as raízes racionais do polinômio
Se k raízes racionais são encontradas (k ≥ 1), o método de Horner também produzirá um polinômio de grau n − k cujas raízes, juntamente com as raízes racionais, são exatamente as raízes do polinômio original. Também pode ocorrer de nenhum dos candidatos ser uma solução; neste caso, a equação que iguala o polinômio a 0 não tem solução racional. Se a equação não possui um termo constante a0, então 0 é uma das soluções racionais da equação.
Ver também
- Domínio integralmente fechado
- Regra dos sinais de Descartes
- Teorema de Gauss–Lucas
- Propriedades de raízes de polinômios
- Conteúdo (álgebra)
- Critério de Eisenstein
Notas
- ↑ Arnold, D.; Arnold, G. (1993). Four unit mathematics. [S.l.]: Edward Arnold. pp. 120–121. ISBN 0-340-54335-3
- ↑ King, Jeremy D. (Novembro de 2006). «Integer roots of polynomials». Mathematical Gazette. 90: 455–456
Referências
- Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentos da Faculdade de Álgebra. Scott & Foresman/Little & Brown Ensino Superior, 3ª edição, 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216-221
- Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: As raízes históricas do ensino fundamental de matemática. Dover Courier Publicações de 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116-117 (Predefinição:Google books)
- Ron Larson: Cálculo: Uma Abordagem Aplicada. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23-24 (Predefinição:Google books)
Ligações externas
- Predefinição:MathWorld
- RationalRootTheorem at PlanetMath
- Another proof that nth roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
- The Rational Roots Test at purplemath.com