Soma telescópica

O nome soma telescópica deriva da função do telescópio, ou seja , assim como este objeto encurta a enorme distancia entre nossos olhos e os corpos celestes , esta propriedade encurta o caminho entre a soma inicial de muitas parcelas e o cálculo do resultado da mesma.

Então o objetivo das somas telescópicas é facilitar o trabalho, de modo que não seja necessário desenvolver uma quantidade infinita de termos ou simplificar por muito tempo uma cadeia de adendos.

 As somas telescópicas são somas finitas nas quais pares de termos consecutivos se cancelam, deixando apenas os termos inicial e final

A totalidade dos termos não será expressa, tornando-se necessária apenas para a demonstração do resultado, mas não para o processo normal de cálculo.

O importante é notar a convergência das séries numéricas. Às vezes, o argumento da soma não será expresso telescopicamente. Nesses casos, a implementação de métodos alternativos de fatoração é muito comum. Veja propriedades auxiliares em somatório.

Em matemática, esta soma segue um dos seguintes padrões:

$\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,$

Ou

$\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$

Ainda, de forma similar:

$(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})\,$

Esta soma pode ser simplificada:

$(a_{2}-a_{1})+(a_{3}-a_{2})+(a_{4}-a_{3})+\ldots +(a_{n}-a_{n-1})=a_{n}-a_{1}\,$

Naturalmente qualquer seqüência de termos $b_{n}\,$ pode ser escrita como uma soma telescópica:

$b_{n}=b_{1}+(b_{2}-b_{1})+(b_{3}-b_{2})+\ldots +(b_{n}-b_{n-1})\,$

Desenvolvimento

Dada uma sequencia $\ F_{n}\mathrm {com} \ n\in \mathbb {N} \,$ tem-se que $\Delta \ F_{k}=F_{k+1}-F_{k}\$

Dessa forma:

${\begin{aligned}\Delta \ F_{1}&{}=F_{2}-F_{1}\\\Delta \ F_{2}&{}=F_{3}-F_{2}\\\Delta \ F_{3}&{}=F_{4}-F_{3}\\&{}\ldots \\\Delta \ F_{n-1}&{}=F_{n}-F_{n-1}\\\Delta \ F_{n}&{}=F_{n+1}-F_{n}\\\end{aligned}}$

Somando todas as equações membro a membro:

$\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+\ldots +F_{n}-F_{n-1}+F_{n+1}-F_{n}\,$

Efetuando os devidos cancelamentos, temos:

$\Delta F_{1}+\Delta F_{2}+\ldots +\Delta F_{n}=F_{n+1}-F_{1}\,$

Portanto:

$\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$

Demonstração

Ao desenvolver a soma, a eliminação de fatores é bem obvia. O primeiro caso será tomado como exemplo, sendo o processo do segundo feito de forma análoga.

Para limite = 3:

$\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})\,$

·$\ X_{1}(F_{1}-F_{1+1})=F_{1}-F_{2}\,$

·$\ X_{2}(F_{2}-F_{2+1})=F_{2}-F_{3}\,$

·$\ X_{3}(F_{3}-F_{3+1})=F_{3}-F_{4}\,$

Expressando a soma dos elementos descritos:

$\sum _{k=1}^{3}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}=F_{1}-F_{2}+F_{2}-F_{3}+F_{3}-F_{4};\,$

Observe que os termos $F_{2}\,$ e $F_{3}\,$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{4}\,$ se mantem.

Significa que $F_{4}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$. Demonstrando a igualdade:

$\sum _{k=1}^{N}(F_{k}-F_{k+1})=F_{1}-F_{n+1}\,$

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De forma análoga temos como exemplo o segundo caso:

Para limite = 5:

$\sum _{k=1}^{5}(F_{k+1}-F_{k})\,$

·$\ X_{1}(F_{1+1}-F_{1})=F_{2}-F_{1}\,$

·$\ X_{2}(F_{2+1}-F_{2})=F_{3}-F_{2}\,$

·$\ X_{3}(F_{3+1}-F_{3})=F_{4}-F_{3}\,$

·$\ X_{4}(F_{4+1}-F_{4})=F_{5}-F_{4}\,$

·$\ X_{5}(F_{5+1}-F_{5})=F_{6}-F_{5}\,$

Expressando a soma dos elementos descritos:

$\sum _{k=1}^{5}(F_{k}-F_{k+1})=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}+X_{5}=F_{2}-F_{1}+F_{3}-F_{2}+F_{4}-F_{3}+F_{5}-F_{4}+F_{6}-F_{5};\,$

Observe que os termos $F_{2},F_{3},F_{4}\,$ e $F_{5}\,$, são descritos junto com seus opostos, sendo sua simplificação inevitável.Da mesma forma é notado que os termos $F_{1}\,$ e $F_{6}\,$ se mantem.

Significa que $F_{6}\,$ é o termo genérico $F_{k+1}\,$. Demonstrando a igualdade:

$\sum _{k=1}^{N}(F_{k+1}-F_{k})=F_{n+1}-F_{1}\,$

Exemplos

${\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}\,$

Observe que o denominador segue o padrão: $k(k+1):k\in \mathbb {N} \,$.Logo, esta soma pode ser escrita como:

${\frac {1}{1(2)}}+{\frac {1}{2(3)}}+{\frac {1}{3(4)}}+\ldots +{\frac {1}{999(1000)}}=\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}\,$

A ideia é usar a propriedade telescopica para facilitar o calculo , assim , buscamos escrever o termo ${\frac {1}{k(k+1)}}\,$ como a diferença de outros dois. Então, ${\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {k+1-k}{k(k+1)}}={\frac {k+1}{k(k+1)}}-{\frac {k}{k(k+1)}}={\frac {1}{k}}-{\frac {1}{(k+1)}}\,$

Assim:

${\begin{aligned}\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}&{}=\sum _{k=1}^{999}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{k+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{k+1}}\end{aligned}}$

Portanto:

$\sum _{k=1}^{999}{\frac {1}{k(k+1)}}=1-{\frac {1}{k+1}}=1-{\frac {1}{999+1}}={\frac {999}{1000}}\,$.

Calcule: $\sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}\,$

Desenvolvendo a soma temos: $(2^{3}-2^{4})+(2^{4}-2^{5})+(2^{5}-2^{6})+\ldots +(2^{10}-2^{11})\,$

Vemos que os termos de $2^{4}\,$ ate $2^{10}\,$ se cancelam e portanto o calculo pode ser resumido a:

$\sum _{n=3}^{10}2^{n}-2^{n+1}=2^{3}-2^{11}=-2040\,$

Usando a propriedade telescópica não é necessário o desenvolvimento , apenas perceber que se trata de uma soma telescópica, chegando ao resultado mais rápido.

Dada a seguinte sequencia recursiva: $\ a_{1}=1,a_{n+1}={\frac {a_{n}}{1+na_{n}}}\,$.Calcule $\ a_{2012}\,$.

A princípio, inverte-se a equação que define $\ a_{n+1}\,$ para desmembra-la em duas frações como veremos a seguir:

${\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1+na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+{\frac {na_{n}}{a_{n}}}\Rightarrow {\frac {1}{a_{n+1}}}={\frac {1}{a_{n}}}+n\,$

Fazendo $b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}\,$

$b_{n+1}=b_{n}+n$

Desenvolvendo os termos temos:

${\begin{aligned}b_{2}&{}=b_{1}+1\\b_{3}&{}=b_{2}+2\\&{}\ldots \\b_{2011}&{}=b_{2010}+2010\\b_{2012}&{}=b_{2011}+2011\\\end{aligned}}$

Isolando as variaveis tem-se:

${\begin{aligned}b_{2}-b_{1}&{}=1\\b_{3}-b_{2}&{}=2\\&{}\ldots \\b_{2011}-b_{2010}&{}=2010\\b_{2012}-b_{2011}&{}=2011\\\end{aligned}}$

Somando todas as equações:

$\ b_{2}-b_{1}+b_{3}-b_{2}+\ldots +b_{2011}-b_{2010}+b_{2012}-b_{2011}=1+2+\ldots +2010+2011\,$

Nota-se que pela propriedade da soma telescópica :

$\ b_{2012}-b_{1}=1+2+\ldots +2010+2011\,$

Por propriedade de Progressão Aritmetica:

$\ b_{2012}-b_{1}={\frac {2012*2011}{2}}\,$

$b_{1}={\frac {1}{a_{1}}}\rightarrow b_{1}=1\,$. Por definição.

Portanto $b_{2012}=1+{\frac {2012*2011}{2}}\,$

Logo, $a_{2012}={\frac {1}{1+1006*2011}}$.

Somas telescópicas e Progressão aritmética

Veremos que os termos de $\sum _{i=1}^{n+1}i\,$ seguem uma progressão aritmetica de razão 1.

Desenvolvendo os termos:

${\begin{aligned}\ i_{2}&{}=i_{1}+1\\\ i_{3}&{}=i_{2}+1\\&{}\ldots \\\ i_{n}&{}=i_{n-1}+1\\\ i_{n+1}&{}=i_{n}+1\\\end{aligned}}$

Se fizermos a subtração de termos consecutivos afirmamos a sentença do enunciado.

${\begin{aligned}\ i_{2}-i_{1}&{}=1\\\ i_{3}-i_{2}&{}=1\\&{}\ldots \\\ i_{n}-i_{n-1}&{}=1\\\ i_{n+1}-i_{n}&{}=1\\\end{aligned}}$

Somando as equações da segunda sequencia apresentada teremos:

$\ i_{2}-i_{1}+i_{3}-i_{2}+\ldots +i_{n}-i_{n-1}+i_{n+1}-i_{n}=1+1+\ldots +1+1\,$

A partir da propriedade telescopica ,cancelamos os termos que aparecem acompanhados de seus opostos e obtemos:

$\ i_{n+1}-i_{1}=1+1+\ldots +1+1\,$

$\ i_{n+1}-i_{1}=n*1\,$

Como trata-se de uma PA , por este método definimos a formula do termo geral:

$\ i_{n+1}=n*1+i_{1}\,$

A soma da PA ,entretanto, segue a seguinte forma:

${\frac {(i_{1}+i_{n+1})n}{2}}\,$

Pois se analisarmos que :

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n}i+i_{n+1}\\\ i_{n+1}&{}=n*1+i_{n}\\\sum _{i=1}^{n}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}\\\therefore \sum _{i=1}^{n+1}i&{}=\sum _{i=1}^{n-1}i+i_{n}+n*1+i_{n}\\\end{aligned}}$

Fica evidente a duplicidade dos termos na soma, logo , deve-se dividir por 2.

Se $\ a_{n+1}={\frac {2a_{n}+1}{2}}\,$ para $\ n>=1\,$  e $\ a_{1}=2\,$.Determine $\ a_{101}\,$

$\ a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{2}}\,$

$\ a_{n+1}-a_{n}={\frac {1}{2}}=\,$ cte. (Progressão aritmética de razão ${\frac {1}{2}}\,$)

Desenvolvendo os termos, temos:

${\begin{aligned}\ a_{n+1}-a_{n}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n}-a_{n-1}&{}={\frac {1}{2}}\\\ a_{n-1}-a_{n-2}&{}={\frac {1}{2}}\\&{}\ldots \\\ a_{2}-a_{1}&{}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

Somando-se as equações e utilizando a propriedade da soma telescópica:

$\ a_{n+1}-a_{1}=n{\frac {1}{2}}\,$

Logo, a formula do termo geral será:

$\ a_{n+1}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\,$

Desta forma,

${\begin{aligned}\ n+1=101;n=100.\\\ \\\ a_{101}&{}=a_{1}+n{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=2+100{\frac {1}{2}}\\\ a_{101}&{}=52\\\end{aligned}}$

A série telescópica

Define-se série telescópica como o limite da soma telescópica:

$\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n+1}-a_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n+1}-a_{1}=\lim _{n\to \infty }a_{n}-a_{1}$

A série telescópica converge, portanto, se e somente se existe o limite $\lim _{n\to \infty }a_{n}\,$

Um pouco da história

É bastante incerto poder definir o momento histórico em que os somatórios telescópicos foram apresentados. No entanto, sua implementação começa a ser vista no século XVII, nos estudos de séries numéricas realizadas por Leibniz e Huygens.

Ambos os matemáticos, ao explorar a soma de números triangulares, começam a notar tendências na convergência de certas séries de elementos sucessivos. Mas ainda mais interessante é o início da modelagem dessas expressões, em elementos que não necessariamente acontecem.

De fato, a expressão ${\frac {2}{n(n+1)}}=2({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}})\,$ foi apresentada por Huygens e imediatamente chamou a atenção de Leibniz. Quem, com o tempo, pôde observar a convergência para o valor 2. Sem saber, ele implementou o formato de soma telescópica.

Veja Também

• Somatório
• Recursão

Referencias

• https://maestrovirtuale.com/somatorio-telescopico-como-e-resolvido-e-exercicios-resolvidos/
• http://www.dm.ufrpe.br/sites/www.dm.ufrpe.br/files/tcc_hugo_leonardo_coutinho_dantas.pdf