Sequência

Predefinição:Outros significados Em matemática, uma sequência ou sucessão é uma função cujo domínio é um conjunto contável totalmente ordenado. Define-se o tamanho de uma sequência pelo número de elementos que esta possui, podendo existir sequências infinitas ou finitas. ^[1]

A sequência também é caracterizada pelo comportamento de seus termos, podendo ser crescente, decrescente, não crescente ou não decrescente. As sequências também podem ser recorrentes, sendo cada termo definido por uma relação que envolve um ou mais termos anteriores. Exemplos conhecidos de sequência são as progressões aritméticas, progressões geométricas e a sequência de Fibonacci, sendo esta última uma sequência recorrente. A análise real inclui o estudo dos limites de sequências de números reais.

Definição e notação

Uma sequência é um conjunto de números que são dispostos em uma ordem, onde cada número é chamado de termo. O termo é escrito da forma Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n } , sendo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} a posição ou ordem do termo. Essa ordem é definida segundo a lei de formação da sequência. ^[2]^[3]^[4]

Em análise matemática, diz-se uma sequência como uma função Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:A\subset\mathbb{N}\to B} , definida sobre um subconjunto $A$ dos números naturais que toma elementos no conjunto Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} .^[5]

Para sequências, denota-se usualmente o valor de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} em $n$ por Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n,} em vez de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n).} Este termo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_n} é dito ser o $n$ -ésimo termo da sequência. A notação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_n)_{n\in A}} é usada para denotar a sequência $f$ , cujos índices são tomados no conjunto $A$ . Quando o conjunto dos índices Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} está subentendido, normalmente escrevemos $(f_{n})_{n}$ ou, simplesmente, $(f_{n})$ . Por extenso, escrevemos $(f_{n})_{n}=(f_{1},f_{2},f_{3},\ldots )$ . Observamos, ainda, que as notações $\ \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{f_n\} } também são encontradas, embora estas se confundem com a notação usual para conjuntos.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]

Sequências infinitas

Uma sequência numérica infinita é uma função $f:\mathbb {N} \to B$ , cujo domínio é o conjunto dos número naturais^[8]^[9]^[10]. Com menos formalidade, uma sequência infinita é uma sequência em que todo termo possui um sucessor. Alguns exemplos são:

a sequência de números pares (2, 4, 6,...);
a sequência de números primos (2, 3, 5, 7,...);
a sequência de aproximações por falta para $\pi$ (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1416,...);
a sequência constante (1, 1, 1, 1, 1,...).

Sequências bi-infinitas

No estudo de dinâmica simbólica^[11], é usado o conceito de uma sequência bi-infinita: uma sequência que é indexada não por $\mathbb {N}$ , mas por $\mathbb {Z}$ . Assim, usa-se a notação $(x_{k})_{k\in \mathbb {Z} }$ para se referir a sequência $(\ldots ,x_{-2},x_{-1},x_{0},x_{1},x_{2},\ldots )$ . Também usa-se a notação mais compacta $\ldots x_{-2}x_{-1}.x_{0}x_{1}x_{2}\ldots$ com um ponto separando a parte com índices negativos da parte com índices naturais.

Sequência limitada

Uma sequência é chamada limitada quando existem números reais $A$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} onde todos os termos de $x_{n}$ possuem valores entre esses dois números, ou seja, $A\leq x_{n}\leq B$ para todo $n$ . Quando os valores $A$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} são simétricos ( $A=-C$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B=C} ), ou seja, $-C\leq x_{n}\leq C$ , o intervalo $x_{n}$ é chamado de simétrico. Uma sequência é limitada superiormente (ou limitada à direita) quando se tem um número real $B$ tal que $x_{n}\leq B$ , de modo que todos os termos pertencem ao intervalo $(-\infty ,B]$ . Da mesma forma, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n } é limitada inferiormente (ou limitada à esquerda) quando se tem um número real Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A \le x_n } , de modo que todos os termos pertencem ao intervalo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A, +\infty) } . Se a sequência não é limitada, diz-se que ela é ilimitada.^[8]

Sequência de números reais

Em análise matemática, uma sequência de números reais é uma função real cujo domínio é o conjunto dos números naturais. Isto é, uma sequência de números reais $(a_{n})_{n}$ é uma função $a:\mathbb {N} \to \mathbb {R}$ . O estudo destas sequências traz resultados importantes para o estudo de funções reais ^[8]^[9]. São exemplos de sequências reais:

$\left({\frac {1}{n}}\right)_{n}=\left(1,~{\frac {1}{2}},~{\frac {1}{3}},~\ldots ,~{\frac {1}{n}},~\ldots \right)$ ;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2n-4)_n = (-2,~0,~2,~\ldots,~2n-4,~\ldots)} ;
$(1,~-1,~1,~\ldots ,~(-1)^{n+1},~\ldots )$ ;

Limite de uma Sequência

Uma sequência pode ser definida como convergente ou divergente. Quando se afirma que uma sequência é convergente, significa que ela possui um limite, ou seja, existe um número real $L$ que, na medida em que o índice $n$ cresce, os termos de $x_{n}$ vão se tornando mais próximos desse número real $L$ . Quando não há limite finito, diz-se que a sequência diverge.^[8]^[9]

Sequências monótonas

As sequências monótonas são todas as sequências crescentes, não-decrescentes, decrescentes e não-crescentes ^[8]:

Sequência crescente: quando $x_{n}<x_{n+1}$ , ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_1 < x_2 < x_3 < ... < x_n < x_{n+1} < ... } , para todo Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n } ;
Sequência não-decrescente: quando $x_{n}\leq x_{n+1}$ , ou seja, $x_{1}\leq x_{2}\leq x_{3}\leq ...\leq x_{n}\leq x_{n+1}\leq ...$ , para todo $n$ ;
Sequência decrescente: quando $x_{n}>x_{n+1}$ , ou seja, $x_{1}>x_{2}>x_{3}>...>x_{n}>x_{n+1}>...$ , para todo $n$ ;
Sequência não-crescente: quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_n \ge x_{n+1} } , ou seja, $x_{1}\geq x_{2}\geq x_{3}\geq ...\geq x_{n}\geq x_{n+1}\geq ...$ , para todo $n$ .

Nota-se que uma sequência decrescente, pela definição, é uma sequência não-crescente. Da mesma forma, uma sequência crescente é uma sequência não-decrescente.

Exemplos

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = (0,1,2,3,4,5,...) } é crescente pois $0<1<2<3<4<5<...$ ;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = (5,4,3,2,1,0,...) } é decrescente pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 5 < 4 < 3 < 2 < 1 < 0 < ... } ;
$a_{n}=(1,1,2,2,3,3,...)$ é não decrescente pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 \le 1 \le 2 \le 2 \le 3 \le 3 \le ... } ;
$a_{n}=(-1,-1,-2,-2,-3,-3,...)$ é não crescente pois Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -1 \ge -1 \ge -2 \ge -2 \ge -3 \ge -3 \ge ... } .

Sequências definidas de forma recursiva

Diz-se que uma sequência $(a_{n})$ está recursivamente definida quando são dados o seu primeiro termo $a_{1}$ e uma lei explícita que relaciona seu $n$ -ésimo termo, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n > 1,} com um ou mais termos anteriores, i.e., é explicitamente dada uma função $a_{n}=f(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n-1})$ , Em outras palavras, uma sequência recursivamente definida é aquela em que seu termo é dado em função de um ou mais termos anteriores a ele^[9]. Sequências definidas recursivamente são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.

Abaixo são apresentadas algumas sequências recorrentes comumente estudas.

Progressão Aritmética

Em uma progressão aritmética (P.A.), cada termo é igual à soma do termo anterior com uma constante denominada "razão da P.A.". Essa razão é geralmente representada pela letra $r$ . Escreve-se, então: Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = a_1 + (n-1)r} ou $a_{n}=a_{n-1}+r$ , onde $a_{1}$ e $r$ são constantes previamente definidas.

Exemplos

$a_{1}=1,r=1:(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+1,a_{1}=1,n=2,3,...$
$a_{1}=-3,r=5:(-3,2,7,12,17,22,27,...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}+5,a_{1}=-3,n=2,3,...$
$a_{1}=13,r=-3:(13,10,7,4,1,-2,-5...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}-3,a_{1}=13,n=2,3,...$

Progressão Geométrica

Em uma progressão geométrica (P.G.), cada termo é igual ao produto do termo anterior por uma constante denominada "razão da P.G.". Ou seja, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_n)_n} é uma progressão geométrica quando Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = a_{n-1}q} , $n>1$ , tendo sido dados o primeiro termo $a_{1}$ e a razão $q$ .

Exemplos

$a_{1}=1,q=1:(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}1,a_{1}=1,n=2,3,...$
$a_{1}=3,q=-1:(3,-3,3,-3,3,-3,3,-3,...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}(-1),a_{1}=3,n=2,3,...$
$a_{1}=16,q=-{\frac {1}{2}}:(16,-8,4,-2,1,{\frac {-1}{2}},{\frac {1}{4}}...)\Leftrightarrow a_{n}=a_{n-1}\left(-{\frac {1}{2}}\right),a_{1}=16,n=2,3,...$

Sequência de Fibonacci

Espiral baseada na sequência de Fibonacci.

A sequência de Fibonacci $(f_{n})_{n}$ é definida por $f_{1}=0$ , $f_{2}=1$ e $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}$ , para $n=3,4,5,...$ , ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (f_n)_n = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)}

Método para extração da raiz quadrada

Exemplo ilustrativo do método da raiz quadrada.

Um método numérico para extração da raiz quadrada pode ser elaborado a partir de uma sequência recorrente. Dado um número positivo qualquer Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} , com o objetivo de encontrar um número Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} positivo tal que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 = c} , supõe-se que é conhecida apenas uma aproximação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{x} > 0} para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} . Nota-se que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{x}\frac{c}{\tilde{x}} =c}

e, observa-se que:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{c}} é um valor entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{x}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c}{\tilde{x}}} ;
se a aproximação Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{x}} aumenta de valor, então o fator Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c}{\tilde{x}}} diminui e vice-versa;
Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} é solução de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2 = c} , se Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = \frac{c}{x}} .

Destas observações, infere-se que uma boa aproximação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{c}} pode ser obtida tomando-se a média aritmética entre Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{x}} e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{c}{\tilde{x}}} , ou seja:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1=\frac{1}{2}(\tilde{x}+\frac{c}{\tilde{x}})} .

Agora, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1} é uma nova aproximação de Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} e, repetindo o argumento acima, temos que a média:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_2=\frac{1}{2}(a_1+\frac{c}{a_1})}

é uma aproximação para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ainda melhor que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1} .

Seja, então, Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_n)} a sequência definida recursivamente por:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1=\tilde{x},\quad a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{c}{a_{n-1}}), n=2, 3, ...} .

Pode-se mostrar que Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_n)} converge para Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{c}} . Esta sequência tem origem na Mesopotâmia (séc. XVIII a.C.) e é talvez o método mais eficiente para extração da raiz quadrada.^[9]

Subsequência

Uma subsequência é uma sequência gerada da exclusão de termos de uma determinada sequência de números reais.^[9] Pode-se citar como exemplos:

A sequência de números pares é uma subsequência da sequência dos números naturais;
A sequência de números inteiros é uma subsequência da sequência dos números racionais.

Nota-se que uma subsequência de uma sequência é uma restrição dessa sequência a um subconjunto infinito do conjunto dos números naturais. Ou seja, ao se restringir os índices dos termos da subsequência obtém-se uma nova sequência retirada da sequência de origem.

Ver também

Referências

↑ Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53
↑ Ribeiro, Jackson (2010). Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione. ISBN 9788526277304
↑ Paiva, Manoel Rodrigues (2010). Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516068318
↑ Nery, Chico (2001). Matemática para ensino médio: volume único. São Paulo: Saraiva. ISBN 8502035266
↑ LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.
↑ CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.
↑ Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419
↑ ^8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183
↑ ^9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 ^9,6 Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680
↑ ^10,0 ^10,1 Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7
↑ Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243

Bibliografia

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Lima, Elon Lages. Análise real. Rio de Janeiro: IMPA.
Rudin, W. Principles of Mathematical Analysis. 2 ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
Michael Spivak. Calculus. Publish or Perish, 2008. ISBN 978-0-914098-91-1.

Predefinição:Séries (matemáticas)

Portal da matemática

[1] Introduction to Real Analysis - Robert G. Bartle, Donald R. Sherbert, página 53

[Ribeiro-2] Ribeiro, Jackson (2010). Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione. ISBN 9788526277304

[Paiva-3] Paiva, Manoel Rodrigues (2010). Matemática: Paiva. São Paulo: Moderna. ISBN 9788516068318

[Nery-4] Nery, Chico (2001). Matemática para ensino médio: volume único. São Paulo: Saraiva. ISBN 8502035266

[:0-5] LIMA, Elon Lages. Curso de análise. Rio de Janeiro: IMPA, 2004, 11ª ed., vol. 1, cap. 4, p. 100.

[6] CATTAI, Adriano Pedreira. Análise matemática I. Universidade do Estado da Bahia (UNEB). 2º semestre 2008. Disponível em: <http://files.cattai.webnode.com/200000018-891b68b0de/analiseUM_cattai_uneb.pdf>. Acessado em: 16 de dezembro de 2014. Página 38.

[7] Halmos, Paul R. (2001). Teoria ingênua do conjuntos. Rio de Janeiro: Editora Ciencia Moderna. ISBN 9788573931419

[:1-8] 8,0 ^8,1 ^8,2 ^8,3 ^8,4 ^8,5 Lima, Elon Lages (2013). Curso de Análise - Volume 1 14 ed. [S.l.]: IMPA. ISBN 9788524401183

[:2-9] 9,0 ^9,1 ^9,2 ^9,3 ^9,4 ^9,5 ^9,6 Ávila, Geraldo (1995). Introdução à Análise Matemática. [S.l.]: Edgard Blücher. ISBN 8521201680

[:3-10] 10,0 ^10,1 Ávila, Geraldo Severo de Souza (2006). Análise Matemática para Licenciatura 3 ed. São Paulo: Blucher. p. 73. ISBN 978-85-212-0395-7

[11] Lind, Douglas; Marcus, Brian (1996). An Introduction To Symbolic Dynamics and Coding. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0521551243

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Sequência

Índice

Definição e notação

Sequências infinitas

Sequências bi-infinitas

Sequência limitada