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Multiconjunto

Matematicamente, um multiconjunto é a generalização de um conjunto, de tal forma que permite a repetição de elementos.

Por exemplo, M = {a, b, c, c, d, e, e} é um multiconjunto distinto de X = {a, b, c, d, e}, apesar de que, se M e X fossem conjuntos, teríamos M=X.

Definição formal

Um multiconjunto é definido como um par , onde é um conjunto qualquer, e a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja .

A multiplicidade de um elemento a é denotada por .

Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos vezes um elemento i do multiconjunto.

Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por , melhor < a,b,c,c,d,e,e> . A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.

Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando para todo .

Exemplos

Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:

  • Na fatoração: a forma natural de se expressar a fatoração de um número natural ou um polinômio é através de multiconjuntos. Por exemplo, os fatores primos de 12 são {2, 2, 3}, e os fatores primos de 18 são {2, 3, 3}.
  • A solução de uma equação polinomial é um multiconjunto, já que é importante indicar a multiplicidade de cada raiz.

Cardinalidade de um multiconjunto

A cardinalidade de um multiconjunto é definida como:

.

Seleção com repetição

Em análise combinatória, um multiconjunto é o resultado de uma seleção com repetição, em que a ordem não é importante. O número de multiconjuntos de cardinalidade k, a partir de n elementos, pode ser representado por [1], uma notação parecida a usada para os coeficientes binomiais, .

Este número é dado pela fórmula seguinte[2][3]:

Exemplos

1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.

2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:

Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:

, número de bolas da i-ésima caixa

Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então

Você também pode utilizar a técnica dos *'s (asteriscos) e | (palitos), sendo neste caso:  : 18 asteriscos e 3 palitos: Assim, temos a combinação direta de asteriscos e palitos::

Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendo permutação de elementos iguais.

3-De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes onde há 6 sabores distintos disponíveis?
A Combinação Simples nos daria maneiras, contudo levaria em conta apenas os sorvetes de sabores distintos! A resposta correta será a Combinação por Repetição:

maneiras.

Ver também


Referências

  1. Stanley, Richard P. ((1997, 1999)). Enumerative Combinatorics Vols. 1 and 2 ed. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-55309-1, 0-521-56069-1 Verifique |isbn= (ajuda)  Verifique data em: |ano= (ajuda)
  2. Weisstein, Eric W. «Multichoose». MathWorld -- A Wolfram Web Resource. Consultado em 20 de novembro de 2014 
  3. Weisstein, Eric W. «Multinomial Coefficient». MathWorld -- A Wolfram Web Resource. Consultado em 20 de novembro de 2014 
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