Princípio fundamental da contagem

O princípio fundamental da contagem é um princípio da combinatória. É, basicamente, a ideia de que o número de possibilidades de fazer $n$ ações distintas e independentes é a multiplicação da quantidade de modos possíveis que cada uma pode ser feita. Ou seja se $A$ pode ocorrer de $q_{a}$ formas e $B$ pode ocorrer de $q_{b}$ formas, então existem $q_{a}.q_{b}$ formas de fazê-las. Generalizando, $n$ ações que podem ser feitas de tal forma que tenham $q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{n}$ possibilidades para cada, juntas podem ser feitas de $Q=q_{1}.q_{2}.q_{3}...q_{n}$ modos distintos.

Conceito formal

Dadas $n$ ações $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ podendo ocorrer de, respectivamente, $q_{1},q_{2},q_{3},...,q_{n}$ modos distintos, conjuntamente, elas podem ocorrer de $Q=\prod _{i=1}^{n}q_{i}$ modos distintos.

$Q=\prod _{i=1}^{n}q_{i}=q_{1}.q_{2}.q_{3}...q_{n}$

Exemplos

Escolher um elemento de $A=\left\{a,b,c\right\}$ e um elemento de $X=\left\{x,y\right\}$ . É o mesmo que escolher um termo de $P=(A,X)=\left\{(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y)\right\}$ . Nesse exemplo, a regra diria: $A$ pode ocorrer de $3$ formas e $X$ pode ocorrer de $2$ formas, então existem $3\ .\ 2=6$ formas de fazê-las conjuntamente.

Em outro exemplo, Alice decidiu comprar um carro novo, e ela quer decidir qual a modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi, há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: A, B e C, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, dourado, azul, vermelho e prata.

Segundo o princípio fundamental da contagem, Alice tem $3\ .\ 5$ opções para fazer, ou seja, ela poderá optar por $15$ carros diferentes.