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Um problema de matemática é uma questão que pode ser enunciada em linguagem matemática e/ou analisada por métodos matemáticos. Um problema matemático pode ter uma solução, diversas soluções, ou mesmo nenhuma solução. Muitos problemas estão em aberto, ou seja, sem solução conhecida.
É costumeiro fazer distinção em matemática, entre problemas e exercícios: o exercício não requer invenção ou criação, apenas aplicação de conhecimentos já obtidos.[1] Já para resolver um problema é necessária criatividade, sendo também usadas técnicas aprendidas, ou mesmo processos inatos, de heurística.[2]
Um problema cuja solução foi procurada por séculos até quando se demonstrou sua impossibilidade é a quadratura do círculo.
Problemas famosos
Ao longo dos tempos, muitos problemas matemáticos tornaram-se célebres. Dentre os quais pode-se citar:
- Quadratura do círculo: Utilizando apenas régua e compasso, desenhar um quadrado cuja área seja a mesma de um círculo dado.
- Duplicação do cubo: Utilizando apenas régua e compasso, desenhar a aresta de um cubo cujo volume seja o dobro de um cubo dado.
- Problema de Papo: Dadas quatro retas e quatro ângulos correspondentes, encontre o lugar geométrico de um ponto tal que as distâncias oblíquas do ponto às retas obedeça à relação: d1d2 : d3d4 = constante.[3][4]
- Problema de Alhazen: Dados uma fonte puntual de luz e um espelho esférico, determine onde fica o ponto no espelho onde um raio de luz é refletido para o olho do observador.[5]
- Problema da tautócrona: Encontre a curva tal que uma bolinha largada numa pista naquele formato a percorre acelerada pela gravidade num tempo que independe da posição inicial.[6][7]
- Problema da braquistócrona: Encontre a curva tal que uma bolinha largada numa pista naquele formato a percorre acelerada pela gravidade no menor tempo possível.[6][8]
- Problema de Monty Hall: Suponha que você está em um game show, e é dada a você a opção de escolha entre três portas: Atrás de uma porta há um carro; atrás das outras, cabras. Você escolhe uma porta, diga-se a Nº 1, e o apresentador, que sabe o que há atrás das portas, abre outra porta, diga-se a Nº 3, em que há uma cabra. Ele então lhe pergunta, "Você quer escolher a porta Nº 2?" É vantajoso mudar sua escolha?
No livro 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, de Dörrie, são apresentados cem problemas marcantes na história da matemática e as soluções encontradas por vários dos mais célebres matemáticos (incluindo soluções de Arquimedes, Isaac Newton, Leonhard Euler, Pierre de Fermat, Carl Gauss e muitos outros).[9][10]
Resolução de problemas vs. desenvolvimento de teorias
Um artigo de Timothy Gowers, intitulado The Two Cultures of Mathematics (em analogia ao The Two Cultures, de C. P. Snow) tornou-se célebre por fazer uma distinção do que o autor viu como "duas culturas" em pesquisas de matemática: a dos resolvedores de problemas e a dos desenvolvedores de teorias.[11]
Resolução de problemas na educação matemática
A resolução de problemas matemáticos é tema central de muitas discussões acerca de métodos de ensino.[12]
No Brasil
A metodologia de ensino de matemática através de atividades de resolução de problemas é pouco usada no Brasil.[13] No Brasil, a metodologia de ensino com base na resolução de problemas é defendida por Jacob Palis:
| “ | A experiência das melhores escolas, no Brasil e no exterior, mostra que uma boa aula pressupõe desafiar os estudantes o tempo todo, de modo que eles sejam expostos a problemas cada vez mais complexos e estimulantes intelectualmente — o avesso da decoreba. Apenas num ambiente assim se abre o espaço necessário para a inventividade. (...) | ” |
Ainda no Brasil, Katia Smole vem desenvolvendo um estudo de referência quanto ao trabalho com as situações de problemas matemáticos e sua aplicação na educação, com base nas teorias matemáticas e das múltiplas inteligências.
"Muitos professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar um problema ou exercício de matemática estão associadas a pouca competência que eles têm para leitura. Também é comum a concepção de que, se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de língua materna, conseqüentemente ele seria um melhor leitor nas aulas de matemática.
Embora tais afirmações estejam em parte corretas, pois ler é um dos principais caminhos para ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta atribuir as dificuldades dos alunos em ler problemas a sua pouca habilidade em ler nas aulas de português. A dificuldade que os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas estão, entre outras coisas, ligadas à ausência de um trabalho pedagógico específico com o texto do problema, nas aulas de matemática."[15]
Nos Estados Unidos
Em cursos universitários de matemática, Robert Lee Moore utilizava um método de ensino que ficou conhecido como o método de Moore, em que os próprios estudantes tinham que demonstrar os teoremas apresentados em aula pelo professor.[16]
Na Rússia
Na Rússia, o papel da resolução de problemas na educação tem tradicionalmente recebido grande importância,[17][18] e é enfatizado nos cursos de preparação de professores.[19]
Referências
- ↑ http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/resu1.html
- ↑ http://www.aapt.org/Conferences/newfaculty/upload/Coop-Problem-Solving-Guide.pdf
- ↑ http://books.google.com.br/books?id=U4I82SJKqAIC&pg=PA54
- ↑ http://stephenhuggett.com/Newton.pdf
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/AlhazensBilliardProblem.html
- ↑ 6,0 6,1 http://www.ifi.unicamp.br/~lunazzi/F530_F590_F690_F809_F895/F809/F809_sem1_2008/WellingtonL-Firer_RF2.pdf
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/TautochroneProblem.html
- ↑ http://mathworld.wolfram.com/BrachistochroneProblem.html
- ↑ http://www.cut-the-knot.org/books/dorrie/back.shtml
- ↑ http://books.google.com.br/books/about/100_Great_Problems_of_Elementary_Mathema.html?id=i4SJwNrYuAUC&redir_esc=y
- ↑ GOWERS, W. T. The Two Cultures of Mathematics.
- ↑ «LAMONATO, M.; PASSOS, C. L. B. Discutindo resolução de problemas e exploração-investigação matemática: reflexões para o ensino da matemática. Revista Zetetiké, Campinas, vol. 19, nº. 36, julho. / dezembro., 2011.». Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original em 18 de maio de 2014
- ↑ ZUFFI, E. M.; ONUCHIC, L. R. O Ensino-Aprendizagem de Matemática através da Resolução de Problemas e os Processos Cognitivos Superiores. Revista Unión, nº. 11, setembro., 2007.
- ↑ «Entrevista de Jacob Palis à revista VEJA (jornalistas Monica Weinberg e Roberta de Abreu Lima).» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 15 de maio de 2014
- ↑ «Aprender a Ler Problemas em Matemática». MATHEMA. 2 de julho de 2015
- ↑ «Revista Matemática Universitária. Uma breve conversa com John Milnor. Revista Matemática Universitária, nº. 9/10, dezembro., 1989.» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 18 de maio de 2014
- ↑ «SAFUANOV, Ildar. Development of problem solving and fostering of creativity in USSR and Russia.» (PDF). Consultado em 18 de maio de 2014. Arquivado do original (PDF) em 18 de maio de 2014
- ↑ TOOM, A. A Russian Teacher in America. Journal of Mathematical Behavior 12, 117-139 (1993).
- ↑ VOGELI, B. R. Russian Mathematics Education: History and World Significance, p. 304.
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