Polinômio mínimo

O polinômio mínimo ou polinômio minimal de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz p(α) = 0.

• Em álgebra linear, temos o polinômio mínimo de um operador linear ou de uma matriz quadrada.
• Na teoria dos corpos, temos o polinômio mínimo de um elemento α algébrico sobre um corpo K.

Em álgebra linear, seja A uma matriz $n\times n$. O teorema de Cayley-Hamilton garante que p_A(t)=det(tI-A), o polinômio característico, satisfaz p(A)=0. Este polinômio é mônico e tem grau=n. Entretanto, para algumas matrizes A é possível ter polinômios de grau menor (não-nulos, claro) com a mesma propriedade. O (único) polinômio mônico de grau menor com a mesma propriedade é chamado o polinômio mínimo de A, denotado p_m(t).

O polinômio mínimo de A pode ser caracterizado em duas maneiras equivalentes:

1. Em termos da forma de Jordan J de A. Seja J₁ a matriz de Jordan obtida por J apagando todas as células exceto a maior célula para cada autovalor. Então p_m(t)=det(tI-J₁).
2. Em termos de multiplicidades algébricas. Sejam λ_i os autovalores de A, e para cada λ_i sejam m_i1 ≥ m_i2 ≥... suas multiplicidades. Então, p_m(t) é o produto dos polinômios (t-λ_i)^m_i1.

A matriz A é chamada não-derogatória se p_A=p_m, ou seja, cada autovalor só tem uma multiplicidade algébrica não-nula. Pode-se mostrar que A é não-derogatória se e somente se ela é similar a uma matriz companheira (antigamente chamada forma canônica racional).