Operador linear limitado

Em matemática e, em especial, em análise funcional um operador linear limitado é um operador linear L entre espaços normados em que a norma de um vetor x está limitado (em sentido a ser definido precisamente abaixo) pela norma de x.

Definição

Seja $L:X\to Y\,$ uma transformação linear entre espaços normados X e Y. Então L é um operador linear limitado se existe um número M > 0 tal que:

$\forall v,\|Lv\|_{Y}\leq M\|v\|_{X}.\,$

Propriedades

• Um operador linear é limitado se e somente se é contínuo e se e somente se é contínuo na origem.

• O conjunto de todos os operadores lineares limitados de $X\,$ em $Y\,$ é um espaço normado, munida da norma operacional:

$\|L\|_{X\to Y}=\sup _{x\in X,\|x\|_{X}\leq 1}\|Lx\|_{Y}$

• Se $X\,$ é um espaço de dimensão finita, então todo operador linear é limitado

• Se $X\,$ é um espaço de dimensão infinita, então o axioma da escolha garante a existência de operadores lineares não limitados definidos em todo o espaço.

• Todo operador linear limitado é fechado.

• Todo operador linear num espaço de dimensão finita é contínuo.