Multiconjunto

Matematicamente, um multiconjunto é a generalização de um conjunto, de tal forma que permite a repetição de elementos.

Por exemplo, M = {a, b, c, c, d, e, e} é um multiconjunto distinto de X = {a, b, c, d, e}, apesar de que, se M e X fossem conjuntos, teríamos M=X.

Definição formal

Um multiconjunto é definido como um par $(A,m)$, onde $A$ é um conjunto qualquer, e $m:A\rightarrow \mathbb {N}$ a função que associa a cada elemento de A um número natural, onde consideramos a definição de números naturais que não contêm o zero, ou seja $\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$.

A multiplicidade de um elemento a é denotada por $m(a)$.

Representamos um multiconjunto com a mesma notação que usamos para conjuntos, mas citamos $m(i)$ vezes um elemento i do multiconjunto.

Por exemplo, o multiconjunto M com o par (A, m), tal que $A=\{a,b,c,d,e\}$ e m(a)=1, m(b)=1, m(c)=2, m(d)=1, m(e)=2, é representado por $M=\{a,b,c,c,d,e,e\}$, melhor < a,b,c,c,d,e,e> . A ordem dos elementos, assim como nos conjuntos, não importa.

Como os multiconjuntos são uma generalização de conjuntos, um multiconjunto B é um conjunto quando $m(i)=1$ para todo $i\in B$.

Exemplos

Multiconjuntos aparecem naturalmente em vários contextos:

• Na fatoração: a forma natural de se expressar a fatoração de um número natural ou um polinômio é através de multiconjuntos. Por exemplo, os fatores primos de 12 são {2, 2, 3}, e os fatores primos de 18 são {2, 3, 3}.
• A solução de uma equação polinomial é um multiconjunto, já que é importante indicar a multiplicidade de cada raiz.

Cardinalidade de um multiconjunto

A cardinalidade de um multiconjunto $M=(A,m)$ é definida como:

$\sum _{i\in A}m(i)$ .

Seleção com repetição

Em análise combinatória, um multiconjunto é o resultado de uma seleção com repetição, em que a ordem não é importante. O número de multiconjuntos de cardinalidade k, a partir de n elementos, pode ser representado por $\textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)$ , uma notação parecida a usada para os coeficientes binomiais, $\textstyle {n \choose k}$.

Este número é dado pela fórmula seguinte:

$\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=^{n+k-1}C_{k}={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!(n-1)!}}={n+k-1 \choose n-1}$

Exemplos

1-Quantos tipos de dominós existem com números de 0 a 7?
É só selecionar dois dos 8 números possíveis. Neste caso os espaços nos dominós são iguais.

$\left(\!\!{8 \choose 2}\!\!\right)={8+2-1 \choose 2}={\frac {(8+2-1)!}{2!(8-1)!}}={\frac {9!}{2!(7)!}}=36$

2-De quantas formas podemos distribuir 18 bolas iguais em 4 caixas diferentes?
Podemos considerar a seqüência seguinte:

$\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet$

Que é o mesmo que achar o número de soluções para a equação:

$X4+X3+X2+X1=18$, $Xi=$número de bolas da i-ésima caixa

Equivale a escolher 18 caixas entre 4, já que pode repetir. Então

$\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)={18+4-1 \choose 18}={\frac {(21)!}{18!(21-18))!}}={\frac {(21)!}{3!(18)!}}=1330$

Você também pode utilizar a técnica dos *'s (asteriscos) e | (palitos), sendo neste caso: $X4+X3+X2+X1=18$ : 18 asteriscos e 3 palitos: Assim, temos a combinação direta de asteriscos e palitos::${\frac {(*+|)!}{*!|!}}=1330$

Outra forma de resolver esse problema é observando a figura acima. Há 18 bolas e 3 barras verticais indicando quatro caixas, cada uma em uma posição. Podemos permutar os termos que no total são 18+4-1 (18 bolas e 3 barras) e descontar as repetições já que as bolas são iguais e as barras também. Fazendo permutação de elementos iguais.

${\frac {(21)!}{3!(18)!}}=1330$

3-De quantos modos podemos comprar 3 sorvetes onde há 6 sabores distintos disponíveis?
A Combinação Simples nos daria $^{6}C_{3}=20$ maneiras, contudo levaria em conta apenas os sorvetes de sabores distintos! A resposta correta será a Combinação por Repetição:

$\left(\!\!{6 \choose 3}\!\!\right)={6+3-1 \choose 3}={8 \choose 3}=56$ maneiras.

Ver também

• Conjunto