Matriz positiva definida

Em álgebra linear, uma matriz definida positiva é uma matriz que, em muitos aspectos, é análoga a um número real positivo. A noção é parecida com a de uma forma bilinear simétrica positiva-definida (ou uma forma sesquilinear no caso complexo).

A definição adequada de definida positiva não tem ambiguidades no caso de matrizes Hermitianas, mas não há consenso na literatura a respeito de como ela deve ser estendida para matrizes não Hermitianas, se é que isso deve ser feito. (Consulte a seção sobre Matrizes não Hermitianas abaixo)

Definição

Uma matriz real M de ordem n × n é definida positiva se z^TMz  > 0 para todos os vetores não-nulos z com entradas reais (isto é, $z\in \mathbb {R} ^{n}$), em que z^T denota o transposto de z.

Uma matriz complexa M de ordem n × n é definida positiva se ℜ(z^*Mz) > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z, em que z^* denota o transposto conjugado de z e ℜ(c) é a parte real de um número complexo c.

Uma matriz complexa Hermitiana M de ordem n × n é definida positiva se z^*Mz > 0 para todos os vetores complexos não-nulos z. A quantidade z^*Mz é sempre um número real porque M é uma matriz hermitiana.

Caracterizações

Seja M uma matriz hermitiana n × n. As seguintes propriedades são equivalentes a M ser positiva definida:

1.	Todos os autovalores $\lambda _{i}$ de $M$ são positivos. Lembre-se que que qualquer Hermitiana M possui uma decomposição espectral M = P−1DP em que P é uma matriz unitária cujas linhas são autovetores ortonormais de M, formando uma base, e D é uma matriz diagonal. Portanto M pode ser considerada como uma matriz diagonal real D que foi expressa em um outro sistema de coordenadas. Esta caracterização significa que M é positiva definida se e somente se os elementos da diagonal de D (os autovalores) são todos positivos. Em outras palavras, na base que consiste de autovetores de M, a ação de M é a multiplicação componente a componente com um elemento (fixo) de Cn com entradas positivas{{esclarecer|data=novembro de 2011.
2.	A forma sesquilinear $$\langle {\textbf {x}},{\textbf {y}}\rangle ={\textbf {x}}^{*}M{\textbf {y}}$$ define um produto interno em Cn. (De fato, todo produto interno em Cn é obtido desta forma a partir de uma matriz Hermitiana definida positiva.) Em particular, a propriedade de uma matriz Hermitiana ser positiva definida é equivalente ao fato de que $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0$ para todo x diferente de zero.
3.	M é a matriz de Gram de alguma coleção de vetores linearmente independentes $${\textbf {x}}_{1},\ldots ,{\textbf {x}}_{n}\in \mathbb {C} ^{k}$$ para algum k. Em outras palavras, M tem a seguinte propriedade: $$M_{ij}=\langle {\textbf {x}}_{i},{\textbf {x}}_{j}\rangle ={\textbf {x}}_{i}^{*}{\textbf {x}}_{j}.$$ Opcionalmente, pode-se impor que os vetores xi pertençam a Cn. Em outras palavras, M é da forma A*A onde A não é necessariamente quadrada, mas deve ser injetora em geral.
4.	Todas as matrizes a seguir possuem determinante positivo (o critério de Sylvester): o canto superior esquerdo 1-por-1 de $M$ o canto superior esquerdo 2-por-2 de $M$ o canto superior esquerdo 3-por-3 de $M$ ... a própria $M$ Em outras palavras, todos os menores principais líderes são positivos. Para matrizes semidefinidas positivas, todos os menores principais devem ser não-negativos. Considerar apenas os menores principais líderes não garante que a matriz seja semidefinida positiva, como pode se ver no exemplo $${\begin{bmatrix}0&0\\0&-1\end{bmatrix}}.$$
5.	Existe uma única matriz triangular inferior $L,$ com elementos da diagonal estritamente positivos, que permite a fatoração de $M$ como $$M=LL^{*}.$$ em que $L^{*}$ é a conjugada transposta de $L.$ Esta fatoração é conhecida como a fatoração de Cholesky.
6.	A função quadrática associada a M $$f(\mathbf {x} )={\frac {1}{2}}\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }M\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$$ é, indiferente ao valor de b, uma função estritamente convexa. Nesse caso, $f(\mathbf {x} )$ possui um mínimo global, e isso explica porque as matrizes definidas positivas são tão comuns em problemas de otimização.

Para matrizes simétricas reais, estas propriedades podem ser simplificadas trocando-se $\mathbb {C} ^{n}$ por $\mathbb {R} ^{n},$ e "transposição conjugada" por "transposição".

Formas quadráticas

Expandindo a condição 2 acima, pode-se formular a definição do que é ser "definida positiva" em termos de formas quadráticas. Seja K o corpo R ou C, e V um espaço vetorial sobre K. Uma forma Hermitiana

$$B:V\times V\rightarrow K$$

é uma aplicação bilinear tal que B(x, y) é sempre o conjugado complexo de B(y, x). Uma função B deste tipo é chamada definida positiva se B(x, x) > 0 para todo x não-zero em V.

Matrizes definidas negativas, semidefinidas e indefinidas

Negativa definida

O n × n diz-se que a matriz Hermitiana $M$ é negativa definida se

$$x^{*}Mx<0$$

para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ não-zero (ou, analogamente, todo $x\in \mathbb {C} ^{n}$ não-zero).

A matriz m será negativa definida se e somente se:

• A matriz simétrica resultante da soma de M com sua transposta, $\left(M+M^{T}\right),$ também for negativa definida .
• A matriz inversa $M^{-1}$ for negativa definida.
• Se a matriz M for simétrica, então ela será negativa definida se e somente se todos os seus valores característicos forem negativos.

A matriz é definida negativa se todos os auto-valores são negativos, é semi-definida positiva se todos são maiores ou iguais a zero, e semi-definida negativa se todos são menores ou iguais a zero.

Matriz semi-definida negativa

A matriz quadrada M é chamada semidefinida-negativa se

$$x^{*}Mx\leq 0$$

para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ou $\mathbb {C} ^{n}$).

Matriz positiva semi-definida

A matriz quadrada M é chamada positiva-semidefinida se

$$x^{*}Mx\geq 0$$

para todo $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (ou $\mathbb {C} ^{n}$).

A matriz M é positiva semi-definida se e somente se ela se sobressai como Gram matriz de alguns vetores fixos. Ao contrário do caso definido positivo, estes vetores não precisam ser linearmente independentes.

Comparação

Seja A uma matriz simétrica n X n e x um vetor (ou escalar, que é um vetor 1X1) em $\mathbb {R} ^{N}.$ Então:

A matriz A é...		Se e somente se...	Ou, equivalentemente, se o valor dos autovalores $\lambda _{i}$ de $A$	Determinante das submatrizes principais	Se esta condição valer, então a matriz inversa $A^{-1}.$
Semidefinida	Não negativa (matriz positiva semi-definida)	$x^{T}Ax\geq 0,\forall x\neq 0$	Forem não-negativos	São todos não negativos	e
	Não-positiva (matriz semi-definida negativa)	$x^{T}Ax\leq 0,\forall x\neq 0$	são não positivas	Alternam os sinais, sendo não positivos nas impares e não negativos nas pares	e
Definida (e portanto também semidefinida)	Positiva	$x^{T}Ax>0,\forall x\neq 0$	Forem todos positivos	São todos positivos	existe e é positiva definida
	Negativa	$x^{T}Ax<0,\forall x\neq 0$	Forem todos negativos	Alternam os sinais, sendo negativos nas impares e positivos nas pares	e
Indefinida		$x^{T}Ax>0$ para alguns x e $x^{T}Ax<0$ para outros x	Exemplo	e	e

Note que a quantidade $x^{T}Mx$ é sempre real. Esta expressão é conhecida como forma quadrática de M .

Exemplos de matrizes positivas definidas

• A matriz identidade $I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$é definida positiva, pois $a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=a_{11}^{2}+a_{21}^{2},$ que é sempre um número positivo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado).
• A matriz real e simétrica $Z={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}$é positiva definida, pois

$a^{T}Za={\begin{bmatrix}{\color {Blue}a_{11}}&{\color {YellowOrange}a_{21}}&{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\color {Red}2}&-1&0\\{\color {Magenta}-1}&2&-1\\{\color {Cyan}0}&-1&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}&-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}&0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\a_{31}\end{bmatrix}}=$

$a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}+{\color {Cyan}0}{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[0{\color {Blue}a_{11}}-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=$

$a_{11}\left[{\color {Red}2}{\color {Blue}a_{11}}{\color {Magenta}-1}{\color {YellowOrange}a_{21}}\right]+a_{21}\left[-1{\color {Blue}a_{11}}+2{\color {YellowOrange}a_{21}}-1{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]+a_{31}\left[-1{\color {YellowOrange}a_{21}}+2{\color {OliveGreen}a_{31}}\right]=\left[2a_{11}^{2}-1a_{21}a_{11}\right]+\left[-1a_{11}a_{21}+2a_{21}^{2}-1a_{31}a_{21}\right]+\left[-1a_{21}a_{31}+2a_{31}^{2}\right]$

Reorganizando os elementos da soma acima, temos: $a_{11}^{2}+\left\{a_{11}^{2}-2a_{21}a_{11}+a_{21}^{2}\right\}+\left\{a_{21}^{2}-2a_{21}a_{31}+a_{31}^{2}\right\}+a_{31}^{2}=$

$a_{11}^{2}+\left\{a_{11}-a_{21}\right\}^{2}+\left\{a_{21}-a_{31}\right\}^{2}+a_{31}^{2}$, que é um número sempre positivo por ser uma soma de quadrados.

Exemplos de matrizes negativas definidas

• A matriz identidade negativa $-I={\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$é definida negativa, pois $a^{T}Ia={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1&0\\0&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-a_{11}&-a_{21}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\end{bmatrix}}=-a_{11}^{2}-a_{21}^{2},$ que é sempre um número negativo (por ser uma soma de números não nulos ao quadrado multiplicada por (-1)).

Ver também

• Raiz quadrada de uma matriz
• Complemento de Schur
• Kernel definido positivo
• Função definida positiva

Referências

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson. Matrix Analysis, Chapter 7. Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
• Rajendra Bhatia. Positive definite matrices,. Princeton Series in Applied Mathematics, 2007. ISBN 978-0691129181.