Módulo de Young

O Módulo de Young é uma propriedade mecânica que mede a rigidez de um material sólido. Define a relação entre tensão (força por unidade de área) e deformação (deformação proporcional) em um material no regime de elasticidade linear de uma deformação uniaxial.

O módulo de Young tem o nome do cientista britânico do século XIX Thomas Young. No entanto, o conceito foi desenvolvido em 1727 por Leonhard Euler, e os primeiros experimentos que usaram o conceito de módulo de Young em sua forma atual foram realizados pelo cientista italiano Giordano Riccati em 1782, pré-datando a obra de Young em 25 anos. O termo módulo é derivado do termo de raiz latino modus, que significa módulo.

Definição

Elasticidade linear

Um material sólido sofrerá deformação elástica quando uma pequena carga é aplicada a ele em compressão ou tração. A deformação elástica é reversível (o material retorna à sua forma original após a remoção da carga).

No estresse e tensão quase zero, a curva de tensão-deformação é linear, e a relação entre tensão e deformação é descrita pela lei de Hooke, que afirma que o estresse é proporcional à deformação. O coeficiente de proporcionalidade é o módulo de Young. Quanto mais alto o módulo, mais estresse é necessário para criar a mesma quantidade de deformação; um corpo rígido idealizado teria um módulo de Young infinito.

Não muitos materiais são lineares e elásticos além de uma pequena quantidade de deformação.

Fórmula e unidades

$\mathrm {E} =\sigma /\epsilon$, em que []

$\mathrm {E}$ é o módulo de Young

$\sigma$ é o estresse uniaxial, ou força uniaxial por superfície unitária

$\epsilon$ é a deformação, ou deformação proporcional (mudança no comprimento dividido pelo comprimento original); é adimensional

Tanto $\mathrm {E}$ quanto $\sigma$ têm unidades de pressão, enquanto $\epsilon$ é adimensional. Os módulos de Young são tipicamente tão grandes que são expressos não em pascal mas em megapascais (MPa ou N / mm2) ou gigapascais (GPa ou kN / mm2).

Uso

O módulo de Young permite o cálculo da mudança na dimensão de uma barra feita de um material elástico isotrópico sob cargas de tração ou compressão. Por exemplo, prevê o quanto uma amostra de material se estende sob tração ou encurta sob compressão. O módulo de Young se aplica diretamente a casos de estresse uniaxial, isto é, tensão de tração ou compressão em uma direção e nenhum estresse nas outras direções. O módulo de Young também é usado para prever a deflexão que ocorrerá em um feixe estaticamente determinado quando uma carga é aplicada em um ponto entre os suportes do feixe. Outros cálculos elásticos geralmente requerem o uso de uma propriedade elástica adicional, como o módulo de cisalhamento, o módulo de volume ou a razão de Poisson. Quaisquer dois desses parâmetros são suficientes para descrever completamente a elasticidade em um material isotrópico.

Linear versus não linear

O módulo de Young representa o fator de proporcionalidade na lei de Hooke, que relaciona o estresse e a tensão. No entanto, a lei de Hooke só é válida sob a hipótese de uma resposta elástica e linear. Qualquer material real acabará por falhar e quebrar quando esticado por uma distância muito grande ou com uma força muito grande; no entanto, todos os materiais sólidos exibem um comportamento quase hookeano para esforços pequenos o suficiente. Se o intervalo ao longo do qual a lei de Hooke é válida é grande o suficiente em comparação com a tensão típica que se espera aplicar ao material, diz-se que o material é linear. Caso contrário (se o estresse típico se aplicasse está fora do intervalo linear), o material é dito não linear.

Aço, fibra de carbono e vidro, entre outros, são geralmente considerados materiais lineares, enquanto outros materiais, como borracha e solos, são não-lineares. No entanto, esta não é uma classificação absoluta: se forem aplicadas tensões ou deformações muito pequenas a um material não linear, a resposta será linear, mas se uma tensão ou tensão muito alta for aplicada a um material linear, a teoria linear não será o suficiente. Por exemplo, como a teoria linear implica reversibilidade, seria absurdo usar a teoria linear para descrever a falha de uma ponte de aço sob alta carga; embora o aço seja um material linear para a maioria das aplicações, não é um caso de falha catastrófica.

Na mecânica sólida, a inclinação da curva tensão-deformação em qualquer ponto é chamada de módulo tangente. Ele pode ser determinado experimentalmente a partir da inclinação de uma curva de tensão-deformação criada durante testes de tração realizados em uma amostra do material.

Materiais direcionais

O módulo de Young nem sempre é o mesmo em todas as orientações de um material. A maioria dos metais e cerâmicas, juntamente com muitos outros materiais, são isotrópicos e suas propriedades mecânicas são as mesmas em todas as orientações. Entretanto, metais e cerâmicas podem ser tratados com certas impurezas, e os metais podem ser mecanicamente trabalhados para tornar suas estruturas de grãos direcionais. Estes materiais então se tornam anisotrópicos e o módulo de Young mudará dependendo da direção do vetor de força. A anisotropia pode ser vista em muitos compostos também. Por exemplo, a fibra de carbono tem um módulo de Young muito mais alto (é muito mais rígido) quando a força é carregada paralelamente às fibras (ao longo do grão). Outros materiais desse tipo incluem madeira e concreto armado. Engenheiros podem usar este fenômeno direcional em sua vantagem na criação de estruturas.

Cálculo

O módulo de Young E, pode ser calculado dividindo-se a tensão de tração, $\sigma (\epsilon )$, pela deformação extensional de engenharia, $\epsilon$, em a porção elástica (inicial, linear) da curva física tensão-deformação:

Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Epsilon=\sigma(\epsilon)/\epsilon=\left \lceil \frac{F/A}{\Delta L/L_0} \right \rceil=\left \lceil \frac{FL_0}{A\Delta L} \right \rceil}

Onde

E é o módulo de Young (módulo de elasticidade)

F é a força exercida sobre um objeto sob tensão; A é a área real da seção transversal, que é igual à área da seção transversal perpendicular à força aplicada;

ΔL é a quantidade pela qual o comprimento do objeto muda (ΔL é positivo se o material é esticado e negativo quando o material é comprimido);

$L_{0}$ é o comprimento original do objeto.

Força exercida por material esticado ou contraído

O módulo de Young de um material pode ser usado para calcular a força que ele exerce sob tensão específica.

$F=EA\Delta L/L_{0}$

onde F é a força exercida pelo material quando contraído ou esticado por $\Delta L$.

A lei de Hooke para um fio esticado pode ser derivada desta fórmula:

$F=({EA \over L_{0}})\Delta L=kx$

Sobre a saturação

$k={EA \over L_{0}}$ e $x=\Delta L$

Mas note que a elasticidade das molas helicoidais vem do módulo de cisalhamento, não do módulo de Young.

Energia potencial elástica

A energia potencial elástica armazenada em um material elástico linear é dada pela integral da lei de Hooke:

$U_{e}=\int kxdx={\frac {1}{2}}kx^{2}$

agora explicando as variáveis ​​intensivas:

$U_{e}=\int {EA\Delta L \over L_{0}}d\Delta L={EA \over L_{0}}\int \Delta Ld\Delta L={EA\Delta L^{2} \over 2L_{0}}$

Isto significa que a densidade de energia potencial elástica (isto é, por unidade de volume) é dada por:

${U_{E} \over AL_{0}}={E\Delta L \over 2L_{0}^{2}}$

Ou, em uma notação simples, para um material elástico linear: $u_{e}(\epsilon )=\int \mathrm {E} \epsilon d\epsilon \neq {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \epsilon ^{2}$, uma vez que a distensão está definida $\epsilon ={\Delta L \over L_{0}}$

Em um material elástico não-linear, o módulo de Young é uma função da deformação, de modo que a segunda equivalência não mais se sustenta e a energia elástica não é uma função quadrática da deformação:

$u_{e}(\epsilon )=\int \mathrm {E} \epsilon d\epsilon \neq {\frac {1}{2}}\mathrm {E} \epsilon ^{2}$

Relação entre constantes elásticas

Para materiais isotrópicos homogêneos, existem relações simples entre constantes elásticas (módulo de Young E, módulo de cisalhamento G, módulo de massa K e razão de Poisson ν) que permitem calculá-las todas, desde que duas sejam conhecidas:

$E=2G(1+v)=3K(1-2v)$

Dependência de temperatura

O módulo de Young dos metais varia com a temperatura e pode ser realizado através da mudança na ligação interatômica dos átomos e, portanto, sua mudança é considerada dependente da mudança na função de trabalho do metal. Embora classicamente, essa mudança é prevista através de ajuste e sem um mecanismo subjacente claro (por exemplo, a fórmula de Watchman), o modelo de Rahemi-Li [] demonstra como a mudança na função de trabalho de elétrons leva a mudança no módulo de metais de Young e prediz essa variação com parâmetros calculáveis, usando a generalização do potencial de Lennard-Jones para sólidos. Em geral, à medida que a temperatura aumenta, o módulo de Young diminui por meio da função

$E(T)=\beta (\phi (T)^{6}$

Na qual a função de trabalho do elétron varia com a temperatura como

$\phi (T)=\phi _{0}-\gamma {(K_{B}T)^{2} \over \phi _{0}}$

e $\gamma$ é uma propriedade calculável do material na qual é dependente de sua estrutura cristalina (por exemplo, CFC, CCC, HC). $\varphi _{0}$ é a função de trabalho de elétrons em $T=0$ e $\beta$ é constante durante a mudança.

Ver também

• Módulo de cisalhamento
• Módulo volumétrico
• Coeficiente de Poisson
• Ensaio destrutivo
• Ensaio não destrutivo

Referências

Ligações externas

• Módulos Elásticos: Visão Geral e Métodos de Caracterização
• Tabelas das propriedades dos materiais