Grupoide (matemática)

Em matemática, grupoide é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto não-vazio com uma operação binária parcial, geralmente denotada pela concatenação, onde todo elemento possui um inverso. Um grupoide é uma generalização da estrutura de grupo, e também representa uma categoria pequena em que todos os morfismos são invertíveis.

Definição

Um grupoide pode ser definido a partir da teoria das categorias ou de forma axiomática.

Na teoria das categorias, um grupoide é uma categoria pequena ${\mathcal {C}}$ em que todo morfismo é invertível, isto é, é um isomorfismo.^[1] Isto é:

A classe dos objetos $Obj_{\mathcal {C}}$ e a classe dos morfismos $Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ são conjuntos, para quaisquer $A,B\in Obj_{\mathcal {C}}$ .
Para todo $f\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ existe $g\in Mor_{\mathcal {C}}(B,A)$ tal que $f\circ g=Id_{B}$ e $g\circ f=Id_{A}$ , isto é, $g=f^{-1}$

Para a definição axiomática de grupoide^[2], seja $G$ um conjunto não-vazio munido de uma operação binária definida parcialmente . Dados $g,h\in G$ , dizemos que existe $gh$ se o produto estiver definido, e escrevemos $\exists gh$ . Um elemento $e\in G$ é dito identidade se $\exists eg$ e $\exists ge$ então $eg=g=ge$ . Então $G$ é um grupoide se satisfaz os seguintes axiomas:

Para todo $g,h,l\in G$ , $\exists g(hl)$ se e somente se $\exists (gh)l$ e, neste caso, são iguais;
Para todo $g,h,l\in G$ , $\exists g(hl)$ se e somente se $\exists gh$ e $\exists hl$ ;
Para cada $g\in G$ existem (únicos) elementos $d(g),r(g)\in G$ tais que $gd(g)=g=r(g)g$ . Estes elementos são, respectivamente, identidade domínio e identidade imagem de $g$ ;
Para cada $g\in G$ existe um (único) elemento $g^{-1}\in G$ tal que $g^{-1}g=d(g)$ e $gg^{-1}=r(g)$ .

Observe que podemos identificar um elemento $g\in G$ com um morfismo $g\in Mor_{\mathcal {C}}(A,B)$ e, neste caso, $d(g)$ e Falhou ao verificar gramática (MathML com retorno SVG ou PNG (recomendado para navegadores modernos e ferramentas de acessibilidade): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r(g)} correspondem aos morfismos identidade do domínio e da imagem de $g$ . É comum que, neste caso, identifiquemos um objeto $A$ com o seu morfismo identidade $Id_{A}$ .

Exemplos

O conjunto das matrizes quadradas de ordem $n$ com entradas reais $M_{n}(\mathbb {R} )$ é um grupo abeliano com a operação de adição. A união dos grupos $\bigcup _{n=1}^{\infty }M_{n}(\mathbb {R} )$ é um grupoide, e a soma está definida apenas para matrizes de mesma ordem. Podemos estender este exemplo para matrizes retangulares, também.