Grupo quociente

Em matemática, o grupo quociente G/N pode ser entendido, de forma intuitiva, ao se considerar em um grupo G e um seu subconjunto N como se os elementos de N fossem igualados ao elemento neutro.

Mais precisamente, seja N um subconjunto do grupo G. Então o grupo quociente G/N é um grupo de subconjuntos de G, sendo N o elemento neutro deste grupo, satisfazendo:

$x,y\in G,X,Y\in G/N,x\in X,y\in Y\implies xy\in XY\,$

Prova-se que a condição necessária e suficiente para que esta operação seja bem-definida e torne G/N um grupo é que N seja um subgrupo normal de G.

Exemplos

$\mathbb {Z} _{4}$ pode ser visto como um subgrupo normal de $\mathbb {Z} _{12}$, cujas classes laterais (denotadas com cores distintas) formam um grupo cíclico com 3 elementos.

• O conjunto $n\mathbb {Z}$ dos múltiplos de um número inteiro positivo n é um subgrupo normal de $\mathbb {Z}$ e $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ é o grupo cíclico com n elementos.
• Se n divide m, então $\mathbb {Z} _{n}$ pode ser visto como um subgrupo normal de $\mathbb {Z} _{m}$ e $\mathbb {Z} _{m}/\mathbb {Z} _{n}$ é isomorfo a $\mathbb {Z} _{m/n}$.
• $\mathbb {Z}$ é um subgrupo normal de $\mathbb {R}$ e $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$ é isomorfo ao grupo circular $\mathbb {S} ^{1}$.
• Seja $S_{n}\,$ o grupo das permutações de um conjunto de n elementos, e $A_{n}\,$ o subgrupo normal das permutações pares. Então $S_{n}/A_{n}\,$ é isomorfo a $\mathbb {Z} _{2}$.