Grupo ordenado

Em matemática, um grupo ordenado é um grupo (G,*) com uma relação de ordem, de forma que a operação binária é compatível com a relação de ordem.

Esta compatibilidade é dada por:

$\forall a,b,g\in G,(a\leq b\implies (ag\leq bg\land ga\leq gb))\,$

Para ser mais preciso, caso a relação de ordem seja uma relação de ordem total, temos um grupo totalmente ordenado, caso seja uma relação de ordem parcial, temos um grupo parcialmente ordenado.

Elementos positivos

Nota-se que, das propriedades, se e é o elemento neutro do grupo, então $a\leq b\,$ implica que $e\leq a^{-1}b\,$ e $e\leq ba^{-1}\,$. Por outro lado, se $e\leq a\,$ e $e\leq b\,$, então $a\leq ab\,$ e, por transitividade, $e\leq ab\,$. Ou seja, o subconjunto dos elementos positivos (eventualmente chamados de não-negativos, para deixar claro que inclui o elemento neutro) $G^{+}=\{x:e\leq x\}\,$ é fechado com relação à operação binária do grupo.

Isto sugere uma definição alternativa de grupo (parcialmente) ordenado: seja H um subconjunto do grupo, com as seguintes propriedades:

• $e\in H\,$
• $a\in H,b\in H\implies ab\in H\,$
• $a\in H,x\in G\implies x^{-1}ax\in H\,$
• $a\in H\land a^{-1}\in H\implies a=e\,$

Então a relação definida por $a\leq b\iff a^{-1}b\in H\,$ é uma relação de ordem (parcial) que torna G um grupo ordenado.