Função localmente integrável

Em matemática, uma função é dita localmente integrável em um subconjunto $E\,$ de seu domínio se for integrável em cada subconjunto pré-compacto de $E\,$. O espaço das funções localmente integráveis em $E\,$ é denotado por $L_{loc}^{1}(E)\,$

Definição

Seja $f:D\to \mathbb {R} \,$ uma função mensurável. Dizemos que $f\in L_{loc}^{1}(E)\,$ se $E\,$ é um subconjunto mensurável de $E\,$ e vale que:

• $\forall V\subseteq {\overline {V}}\subseteq E\,$ com ${\overline {V}}\,$ compacto então $f\in L^{1}(V)\,$

Esta definição pode ser generalizada para os espaços $L_{loc}^{p}(V)\,$.

Propriedades

• Se $1\leq p<q\leq \infty \,$ então $L_{loc}^{q}(E)\subseteq L_{loc}^{p}(E)\subseteq L^{p}(E)\,$