Função racional

Em matemática, uma função racional é qualquer função que pode ser expressa como uma razão (quociente) de polinômios, i.e. uma fração algébrica. Para uma simples variável $x$, uma típica função racional é, portanto:

Gráfico de 1/x, um exemplo de função racional.

$$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$$

As funções racionais são classificadas em próprias, se o grau do polinômio do numerador for inferior ao grau do polinômio do denominador, e impróprias, se o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador.

• Exemplos de funções racionais próprias:

$\left({\frac {4s-1}{s^{2}+s-2}}\right)$

$\left({\frac {5x-7}{3x^{3}+2x-5}}\right)$

• Exemplos de funções racionais impróprias:

$\left({\frac {2y^{3}-3y}{y^{2}-5y+6}}\right)$

$\left({\frac {3s^{2}+4s-1}{s^{2}+s-2}}\right)$

Assíntotas

Ver artigo principal: Assintota

Assíntotas verticais

O gráfico da função racional $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ terá uma assíntota vertical em $x=a$ se algum dos limites $\lim _{x\to a^{\pm }}f(x)=\pm \infty$ se verifica. Tal função $f(x)$ pode ter múltiplas assíntotas verticais na forma $x=a$ para todos os valores de $a$ que validem $Q(x)=0$ e não sejam descontinuidades removíveis (descontinuidade em um ponto apenas).

Assíntota horizontal

O gráfico da função racional $f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}$ terá uma assíntota horizontal em $y=b$ se algum dos limites $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=b$ se verifica.

Seja $m$ o grau do polinômio $P(x)$ e $n$ o grau do polinômio $Q(x)$, podemos ter três situações:

• $f(x)$ terá uma assíntota horizontal em $y=b$ se $m=n$.
• $f(x)$ terá uma assíntota horizontal em $y=0$ se $m<n$.
• $f(x)$ não terá uma assíntota horizontal se $m>n$.

Bibliografia

• Bizelli, Maria Helena S. S. (2019). «Função Racional...». UNESP 

Ver também

• Corpo de frações
• Decomposição em frações parciais
• Corpo de funções de uma variedade algébrica
• Fração algébrica — uma generalização das funções racionais que permite a extração de raízes inteiras