Fórmula de Taylor

Fórmula de Taylor ou Polinômio de Taylor ou Série de Taylor é uma expressão que permite o cálculo do valor de uma função por aproximação local através de uma função polinomial. Supondo f infinitamente derivável num intervalo contendo um ponto $x_{0}$, temos:

• $T(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\frac {f''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}}{2}}+{\frac {f'''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{3}}{6}}+...$
• $T(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {f^{(n)}(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{n}}{n!}}{\Biggr )}$

Assim, pode-se ganhar precisão até quanto se queira. Para $n=1$, por exemplo:

• $T_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$

Esta é uma função que descreve a equação de uma reta (devido ao expoente $1$ relativo à variável $x$). Esta reta possuí o coeficiente angular $f'(x_{0})$, logo, o gráfico de $T$ é uma reta tangente ao gráfico de f no ponto $(x_{0},f(x_{0}))$. É importante ressaltar que este conceito está diretamente ligado à ideia de diferencial.

Exemplo

Encontrar $\ln 1,0031$

• $f(x)=\ln x$ (função envolvida no problema)
• $x_{0}=1$ (ponto próximo onde conheço o valor da função)

$T(1,0031)=\ln 1+1/1\cdot 0,0031=0,0031=>\ln 1,0031\approx 0,0031$

Margem de erro para primeira ordem

Ao fazer a aproximação de f no ponto x por T₁ no ponto x comete-se um erro:

• $E(x)=f(x)-T_{1}(x)$
• $E(x)=f(x)-f(x_{0})-f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})$
• $E(x)/(x-x_{0})=(f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})-f'(x_{0})$
• $\lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=\lim _{x\to x_{0}}((f(x)-f(x_{0}))/(x-x_{0})-f'(x_{0}))$
• $\lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=f'(x_{0})-f'(x_{0})$
• $\lim _{x\to x_{0}}E(x)/(x-x_{0})=0$

A última expressão significa que o erro cometido tende a zero mais rápido que a diferença $(x-x_{0})$.

A função T que foi examinada é um polinômio de 1ºgrau que é denominado o Polinômio de Taylor, de ordem $1$, de $f$ em volta de $x0$ e é escrito como:

• $P_{1}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$

Ver também

• Teorema de Taylor
• Série de Taylor
• Brook Taylor
• polinômio de taylor