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Espaço lp

Em matemática, os espaços , são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo onde ou . Espaços são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

Definições

  • Uma sequência é dita pertencer ao espaço se for p-somável, ou seja:
.
  • Uma sequência é dita pertencer ao espaço se for limitada, ou seja:
.

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

.

Propriedades dos espaços

Convergência

Todas as sequências pertencentes a , convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em , por exemplo, a sequência constante é limitada mas , logo .

Espaços de Banach e Hilbert

Espaços são espaços de Banach para qualquer e o único espaço que é um espaço de Hilbert é , que é dotado do produto interno

.

Separabilidade

Para , os espaços são separáveis, mas não é separável.

Inclusão dos espaços

Os espaços crescem à medida que cresce, isto é, se , então .

Espaços

O espaço das sequências convergentes é denotado por , e, como toda sequência convergente é limitada, é um subespaço linear de e além disso temos que é um subespaço fechado de e portanto um espaço de Banach.


O espaço é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que é um subespaço de e portanto também é um subespaço linear de . Também é um subespaço fechado e portanto de Banach


é o subespaço linear de formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para , existe tal que se . não é um subespaço fechado com relação a norma , pois para a sequência é de Cauchy mas converge para que não pertence à .

Dualidade

Se , então o espaço dual topológico de é isometricamente isomorfo a onde é o conjugado de Lebesgue de , ou seja . O isomorfismo definido por

.

Pela desigualdade de Hölder temos que , e definido a norma em por

.

Temos que ,e portanto, é um operador limitado e

logo é linear.

Seja , então os funcionais pertencentes ao espaço dual são da forma:

, para algum associado a .

Ver também

Bibliografia

  • Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc. 
  • Dieudonné, Jean Alexandre (1983), History of Functional Analysis, ISBN 0-444-86148-3, North-Holland Publishing Company 
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