Espaço lp

Em matemática, os espaços $\ell ^{p}$, são espaços vetoriais normados cujos vetores são sequências de números pertencentes a um corpo $\mathbb {K}$ onde $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ ou $\mathbb {R}$. Espaços $\ell ^{p}$ são exemplos de espaços vetoriais de dimensão infinita.

Definições

• Uma sequência $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ é dita pertencer ao espaço $\ell ^{p}\ ,\;1\leq p<\infty ,$ se for p-somável, ou seja:

$\|a_{n}\|_{p}:=\left(\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty$.

• Uma sequência $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ é dita pertencer ao espaço $\ell ^{\infty }\,$ se for limitada, ou seja:

$\|a_{n}\|_{\infty }:=\sup _{n}|a_{n}|<\infty$.

A desigualdade de Minkowski garante que estes espaços são lineares e que a norma está bem definida, satisfazendo seus axiomas.

A estrutura de espaço vetorial é gerada definindo a soma de elementos e a multiplicação por escalar da seguinte maneira:

$(a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},\dots )+(b_{1},b_{2},...,b_{n},b_{n+1},\dots )=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},...,a_{n}+b_{n},a_{n+1}+b_{n+1},\dots )$

$\lambda \cdot (a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},\dots )=(\lambda a_{1},\lambda a_{2},...,\lambda a_{n},\lambda a_{n+1},\dots )$.

Propriedades dos espaços $\ell ^{p}$

Convergência

Todas as sequências $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }\,$ pertencentes a ${\textstyle \ell ^{p},1\leq p<\infty }$, convergem a zero, o que não é necessariamente verdade para sequências em $\ell ^{\infty }$, por exemplo, a sequência constante $a=(1,1,1,1,\dots )$ é limitada mas $\|(1,1,1,1,\dots )\|_{p}=\infty ,\;1\leq p<\infty$, logo $a\notin \ell ^{p}$.

Espaços de Banach e Hilbert

Espaços $\ell ^{p}$ são espaços de Banach para qualquer $1\leq p\leq \infty$ e o único espaço ${\textstyle \ell ^{p}}$ que é um espaço de Hilbert é ${\textstyle \ell ^{2}}$, que é dotado do produto interno

$\langle \{a_{n}\}|\{b_{n}\}\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\overline {b_{n}}}$.

Separabilidade

Para $1\leq p<\infty$, os espaços $\ell ^{p}$ são separáveis, mas $\ell ^{\infty }$ não é separável.

Inclusão dos espaços

Os espaços $\ell ^{p}$ crescem à medida que $p$ cresce, isto é, se ${\textstyle 1\leq p<q\leq \infty }$, então $\ell ^{p}\subset \ell ^{q}$.

Espaços $c,c_{0}\;{\text{e}}\;c_{00}$

O espaço das sequências convergentes é denotado por $c$, e, como toda sequência convergente é limitada, $c$ é um subespaço linear de $\ell ^{\infty }$ e além disso temos que $c$ é um subespaço fechado de $\ell ^{\infty }$ e portanto um espaço de Banach.

O espaço $c_{0}$ é o espaço das sequências convergentes a zero, é facil notar que $c_{0}$ é um subespaço de $c$ e portanto também é um subespaço linear de $\ell ^{\infty }$. Também é um subespaço fechado e portanto de Banach

$c_{00}$ é o subespaço linear de $c_{0}$ formado pelas sequências eventualmente nulas, ou seja, para $\{a_{n}\}\in c_{00}$, existe $n\in N$ tal que se $m\geq n,\,a_{m}=0$. $c_{00}$ não é um subespaço fechado com relação a norma $\|\cdot \|_{\infty }$, pois para a sequência $x_{n}=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},\dots ,{\frac {1}{n}},0,\dots \right),\;\{x_{n}\}$ é de Cauchy mas $\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ converge para $x=\left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\dots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dots \right)$ que não pertence à $c_{00}$.

Dualidade

Se $1<p<\infty$, então o espaço dual topológico de $\ell ^{p}$ é isometricamente isomorfo a $\ell ^{q}$ onde $q$ é o conjugado de Lebesgue de $p$, ou seja ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$. O isomorfismo $\Psi$ definido por

${\begin{alignedat}{3}\Psi :\ell ^{q}&\to (\ell ^{p})'\\x&\mapsto L_{x}:\ell ^{p}\to \mathbb {K} &&\\&\qquad \qquad y\mapsto \sum _{n}x_{n}y_{n}&&\\\end{alignedat}}$.

Pela desigualdade de Hölder temos que $|L_{x}(y)|\leq \|x\|_{q}\|y\|_{p}$, e definido a norma em $(\ell ^{p})'$ por

$\|\Psi (x)\|_{(\ell ^{p})'}=\sup _{y\neq 0}{\frac {|L_{x}(y)|}{\|y\|_{p}}}$.

Temos que $\|\Psi (x)\|_{(\ell ^{p})'}\leq \|x\|_{q}$,e portanto, $\Psi$ é um operador limitado e

$\Psi (\lambda x^{1}+x^{2})=L_{(\lambda x^{1}+x^{2})}(y)=\sum _{n}(\lambda x_{n}^{1}+x_{n}^{2})y_{n}=\lambda \sum _{n}x_{n}^{1}y_{n}+\sum _{n}x_{n}^{2}y_{n}$

logo $\Psi$ é linear.

Seja ${\textstyle 1\leq p<\infty }$, então os funcionais pertencentes ao espaço dual $\left(\ell ^{p}\right)^{*}\,$ são da forma:

$l\left(\{a_{n}\}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$, para algum $\{b_{n}\}\,$ associado a $l\,$.

Ver também

• Espaço Lp

Bibliografia

• Kreyzig, Erwin (1978), Introductory Functional Analysis with Applications, ISBN 0-471-50731-8, John Wiley & Sons, Inc. 
• Dieudonné, Jean Alexandre (1983), History of Functional Analysis, ISBN 0-444-86148-3, North-Holland Publishing Company