Círculo

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Um círculo.

Na geometria, um círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se chama círculo o conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor (ao qual chamamos raio). A área $A$ de um círculo pode ser expressa matematicamente por:

$A=\pi \times r^{2}$

onde $r$ é o raio da circunferência e $\pi$ (Pi) uma constante.

1ª Demonstração

Considere-se uma sucessão de polígonos regulares inscritos na circunferência. A área de cada um desses polígonos é dada por $S=p\cdot a$ , onde $p$ é o semiperímetro do polígono e $a$ é o seu apótema. À medida que o número de lados do polígono aumenta, $p$ converge para a metade do comprimento da circunferência ($\pi R$) e $a$ converge para o raio ($R$). Assim $S$ converge para$\pi R\cdot R=\pi R^{2}$. Por outro lado, à medida que o número de lados do polígono cresce, a sua área converge para a área do círculo. Conclui-se assim que a área do círculo é $\pi R^{2}$.

2ª Demonstração

Seja f uma semicircunferência tal que:

$f(x)={\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$

Para calcular a área de um círculo, basta que calculemos a área abaixo do gráfico de uma semicircunferência e dobremo-la. Portanto, basta calcular a integral definida:

$F(x)=\int _{a}^{x}f(t^{2})dt$

uma circunferência em $\mathbb {R} ^{2}:$

$x^{2}+y^{2}=R^{2}$

Geometria analítica

Em geometria analítica é possível descrever o circulo como o lugar geométrico de todos os pontos que estão a uma distância menor ou igual a um valor $r$ (chamado de raio) de um ponto $C$ fixo (chamado de centro).

Numericamente pode-se descrever o circulo pela seguinte equação:

$\left(x-x_{c}\right)^{2}+\left(y-y_{c}\right)^{2}\leq r^{2}$

Onde $x_{c}$ e $y_{c}$ são as coordenadas do centro $C$ e $r$ o raio do circulo.

Ver também

• Cardioide
• Circunferência
• Ciclóide
• Cônicas
• Corda (geometria)
• Diâmetro
• Esfera
• Lugar geométrico
• Raio (geometria)

Bibliografia

• Braga, Theodoro - Desenho linear geométrico. Ed. Cone, São Paulo: 1997.
• Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982.
• Giongo, Affonso Rocha - Curso de Desenho Geométrico. Ed. Nobel, São Paulo: 1954.
• Marmo, Carlos - Desenho Geométrico. Ed. Scipione, São Paulo: 1995.
• Putnoki, José Carlos - Elementos de geometria e desenho geométrico. Vol. 1 e 2. Ed. Scipione, São Paulo: 1990.

Ligações externas

• Alfred North Whitehead: An Introduction to Mathematics. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103197842, pp. 121 [1]
• George Wentworth: Junior High School Mathematics: Book III. BiblioBazaar LLC 2009 (reprint), ISBN 9781103152360, pp. 265 [2]
• Robert Clarke James, Glenn James: Mathematics Dictionary. Springer 1992, ISBN 9780412990410, p. 255 [3]
• «Construir objetos geometria analítica» (em English)