Conjuntos disjuntos

A e B são dois conjuntos disjuntos.

Em matemática, dois conjuntos são ditos disjuntos se não tiverem nenhum elemento em comum. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos se sua interseção for o conjunto vazio.

Exemplos

• O conjuntos: $\{1,2,3\}\,$ e $\{6,7\}\,$ são disjuntos pois não possuem elementos em comum.
• O conjunto dos números pares e o conjuntos dos números impares são disjuntos, pois não existe um número que seja par e impar ao mesmo tempo.
• O conjunto dos números primos e o conjunto dos números pares não são disjuntos pois o número 2 é par e primo ao mesmo tempo.

Definição

Dois conjuntos $A\,$ e $B\,$ são ditos disjuntos se:

$A\cap B=\emptyset \,$

Uma família de conjuntos é dita disjunta dois a dois ou mutuamente disjunta se dados dois conjuntos quaisquer da família, eles são disjuntos. Mais formalmente falando, seja $A_{\lambda }\,$ uma família de conjuntos disjuntos indexados pelo índice $\lambda \in \Lambda \,$, então:

$A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ,~~\forall i,j\in \Lambda ,~i\neq j\,$

Observe cuidadosamente que $\bigcap _{\lambda \in \Lambda }A_{\lambda }=\emptyset \,$ não implica que a família seja disjunta dois a dois. Um contraexemplo seria: $\{\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}\,$.

Partição

Uma partição é uma família $\{A_{\lambda },\lambda \in \Lambda \}\,$ de subconjuntos disjuntos de um espaço $X\,$ cuja união é todo o espaço:

• $\bigcup _{\lambda \in \Lambda }A_{i}=X.\,$
• $A_{i}\cap A_{j}=\emptyset ~~\forall i,j\in \Lambda ,~i\neq j.\,$

Partições aparecem naturalmente como classes de equivalência em uma relação de equivalência.