Conjunto gerador de um grupo

Conjunto gerador de um grupo

Na álgebra abstrata, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto que não está contido em nenhum subgrupo próprio do grupo. Equivalentemente, um conjunto gerador de um grupo é um subconjunto, tal que todo elemento do grupo pode ser expresso como a combinação (sob a operação do grupo) de elementos finitos do subconjunto e seus inversos. Generalizando, se S é um subconjunto do grupo G, então <S>, o subgrupo gerado por S, é o menor subgrupo de G contendo todos os elementos de S, significando a inserção em todos os subgrupos contendo os elementos de S; Equivalentemente, <S> é o subgrupo de todos os elementos de G que podem ser expressos como um produto finito de elementos em S e seus inversos.

Se G = <S>, então dizemos que S gera G; e os elementos em S são chamados geradores ou grupo gerador. Se S é um conjunto vazio, então <S> é o grupo trivial {e}, desde que consideremos o produto vazio como sendo Identidade.

Quando há somente um único elemento x em S, <S> é geralmente escrito como <x>. Neste caso, <x> é o subgrupo cíclico das potências de x, um grupo cíclico, e dizemos que este grupo é gerado por x. Equivalente a dizer que um elemento x gera um grupo é dizer que <x> equivale ao grupo de inteiros G. Para grupos finitos, também é equivalente a dizer que x tem ordem |G|.

Grupo finitamente gerado

Se S é finito, então um grupo G = <S> é chamado finitamente gerado. A estrutura de grupos abelianos finitamente gerados em particular é facilmente descrito. Muitos teoremas que são verdadeiros pelos grupos finitamente gerados falham por grupos em geral. Tem sido provado que se um grupo infinito é gerado por um subconjunto S, então cada elemento do grupo pode ser expresso como uma palavra do alfabeto S de comprimento menor do que ou igual ao comprimento do grupo.

Todo grupo finito é finitamente gerado desde que <G> = G. A adição dos inteiros é um exemplo de um grupo infinito que é finitamente gerado por ambos 1 e -1, mas o grupo de adição dos racionais não pode ser definido como finitamente gerado.

Diferentes subconjuntos do mesmo grupo podem ser subconjuntos gerados; por exemplo, se p e q são inteiros com mdc(p, q) = 1, então {p, q} também geram o grupo de adição de inteiros pela Identidade de Bézout.

Enquanto for verdade que todo quociente de um grupo finitamente gerado é finitamente gerado(simplesmente tome as imagens de geradores no quociente), um subgrupo de um grupo finitamente gerado não precisa ser finitamente gerado. Por exemplo, tome G como sendo um grupo livre em dois geradores, x e y (que é claramente finitamente gerado, desde que G = <{x,y}>), e tome S como sendo um subconjunto consistindo em todos os elementos de G da forma yⁿxy⁻ⁿ, dado n um número natural. Desde que <S> seja claramente isomórfico para o grupo livre nos geradores contábeis, isto não pode ser finitamente gerado. Contudo, todo grupo de um grupo abeliano finitamente gerado é em si finitamente gerado. Um pouco mais pode ser dito sobre isso, porém: a classe de todos os grupos finitamente gerados é fechado sobre expressões. Para visualizar, tome um conjunto gerado por um (finitamente gerado) subgrupo normal e quociente: então os geradores para o grupo normal, juntos com pré-imagens dos geradores para o quociente, gera o grupo.

Grupo livre

O grupo mais geral gerado por um conjunto S é o grupo livremente gerado por S. Todo grupo gerado por S é isomórfico ao quociente deste grupo, uma característica que é usada em expressões de uma apresentação do grupo.

Subgrupo Frattini

Um tópico interessante é a dos não-geradores. Um elemento x do grupo G é um não-gerador se todo conjunto S contém x que gera G, ainda gera G quando x é removido de S. Nos inteiros com adição, o único não-gerador é 0. O conjunto de todos os não-geradores forma um subgrupo de G, o subgrupo Frattini.

Exemplos

A união de grupos U(Z₉) é o grupo de todos os inteiros relativamente primos a 9 sob multiplicação de mod 9 (U₉ = {1, 2, 4, 5, 7, 8}). Toda aritmética aqui está feita em módulo 9. Sete não é gerador de U(Z9), já que

$$\{7^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{7,4,1\}.$$

enquanto 2 é, já que:

$$\{2^{i}{\pmod {9}}\ |\ i\in \mathbb {N} \}=\{2,4,8,7,5,1\}.$$

Por outro lado, para n > 2 o grupo simétrico de grau n não é cíclico, então não é gerado por qualquer outro elemento. Contudo, é gerado pelas duas permutações (1 2) e (1 2 3 ... n). Por exemplo, para S₃ temos:

$$e=(12)(12)$$

$$(12)=(12)$$

$$(13)=(12)(123)$$

$$(23)=(123)(12)$$

$$(123)=(123)$$

$$(132)=(12)(123)(12)$$

Grupos infinitos também ter geradores de conjuntos finitos. O grupo de adição de inteiros tem 1 como um conjunto gerador. O elemento 2 não é conjunto gerador, como os números ímpares estará ausente. O subconjunto de dois elementos {3, 5} é um conjunto gerador, desde que (−5) + 3 + 3 = 1 (de fato, qualquer par de números coprimos é, como uma consequência da Identidade de Bézout).