Anel com identidade

Em matemática, um anel com identidade, ou anel com unidade é um anel com elemento neutro da multiplicação, denominado 1. Esse elemento sempre é único.

Definições Alternativas

Alguns autores, como Serge Lang, definem anel com existência de elemento neutro para a multiplicação. Nesses casos anéis sem unidade são classificados como pseudoanéis.

Unicidade da Unidade

Proposição:Se um anel ${\mathcal {A}}$ possui unidade, então ela é única.

Prova: A prova segue por absurdo supondo a existência de duas identidades.

Seja $1,1'\in {\mathcal {A}}$ identidades distintas, ou seja, $\forall x\in {\mathcal {A}}$ temos $1\cdot x=x$ e $1'\cdot x=x$. Segue que $1\cdot 1'=1'$ mas $1'$ também é unidade, então $1\cdot 1'=1$ portanto $1=1'$

Unidades Versus Anel com Unidade

Dentro de um anel ${\mathcal {A}}$ podemos definir o conjunto $U({\mathcal {A}})=\{a\in {\mathcal {A}}|\exists b\in {\mathcal {A}},a\cdot b=1\}\subseteq {\mathcal {A}}$, em palavras, $U({\mathcal {A}})$ denota o conjunto de todos os elementos invertíveis de ${\mathcal {A}}$ e o chamamos de Conjunto das Unidades. Portanto a noção de unidade não está associada ao elemento neutro da multiplicação $1_{\mathcal {A}}$ e sim a existência de inverso multiplicativo. Dessa forma, o termo unidades de um anel não contradiz a proposição acima pois é diferente do termo anel com unidade, o qual se refere à anéis que possuem elemento neutro para a multiplicação.

Exemplos

• O anel dos números inteiros tem unidade;
• Todo domínio de integridade é um anel com unidade;
• O anel das matrizes $n\times n$ possui unidade;